Classifique a série como convergente, divergente ou condicionalmente convergente.
sumk=1^infty cos k pik raizk

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma série infinita para classificar como convergente, divergente ou condicionalmente convergente. A série é:
sumk=1^infty cos(kpi)k raizk
A matéria aqui é séries numéricas, mais especificamente, vamos usar testes de convergência para decidir qual categoria essa série se encaixa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a expressão da série. Sabemos que cos(kpi) alterna entre 1 e -1 dependendo de k. Na verdade, cos(kpi) = (-1)^k. Então, a série fica:
sumk=1^infty (-1)^kk raizk = sumk=1^infty (-1)^kk^3/2
Isso nos mostra que a série é alternada, ou seja, os termos mudam de sinal.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a série converge absolutamente. Para isso, analisamos a série dos valores absolutos dos termos:
sumk=1^infty | (-1)^kk^3/2 | = sumk=1^infty 1k^3/2
Essa é uma série p, onde p = 32 .

Passo 4

Sabemos que uma série p converge se p > 1 . Aqui, p = 32 , que é maior que 1. Então, a série dos valores absolutos converge. Isso significa que a série original converge absolutamente.

Passo 5

Como a série converge absolutamente, não precisamos nos preocupar com a convergência condicional. Portanto, a conclusão é que a série é convergente.

Resposta

A série é convergente.

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