Encontre o raio e intervalo de convergência:
sumk=1^infty (x-4)^k+1(k+1) 2^k+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita: sumk=1^infty (x-4)^k+1(k+1) 2^k+1. Nosso objetivo é descobrir o raio de convergência dessa série e também o intervalo onde essa série realmente converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série para facilitar os cálculos. Observando (x-4)^k+1(k+1) 2^k+1, podemos reescrever como (x-4)^k+12^k+1 (k+1). Agora, vamos chamar o termo geral dessa série de ak, então:
ak = (x-4)^k+12^k+1 (k+1)

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Razão, que diz que se o limite for menor que 1, a série converge. Vamos calcular esse limite:
Simplificando, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando k vai para o infinito:
limk to infty | ak+1ak | = limk to infty | (x-4)2 cdot (k+1)(k+2) |
Sabemos que limk to infty (k+1)(k+2) = 1, então o limite fica:
| (x-4)2 |

Passo 5

Para a série convergir, esse limite precisa ser menor que 1:
| (x-4)2 | < 1
Isso significa que:
|x-4| < 2

Passo 6

Da desigualdade |x-4| < 2, podemos encontrar o intervalo de x:
-2 < x - 4 < 2 implies 2 < x < 6
Então, o intervalo preliminar de convergência é de 2 a 6.

Passo 7

O raio de convergência R é a distância do centro (que é 4) até os pontos extremos do intervalo. Como o intervalo vai de 2 a 6, o raio é 2.

Passo 8

Agora, precisamos verificar se a série converge nos extremos do intervalo, ou seja, em e .
Para :
Essa série é a série alternada de , que converge pelo Teste da Alternância.
Para :
Essa é a série harmônica, que diverge.

Resposta

O raio de convergência é R = 2 e o intervalo de convergência é 2 <= x < 6.

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