Classifique a série como convergente, divergente ou condicionalmente convergente.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos k \pi}{k \sqrt{k}} \rightarrow 1

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\pi}{k\sqrt{k}}
e pede para classificá-la como convergente, divergente ou condicionalmente convergente. Vamos usar: propriedade de \cos k\pi, teste da p-série e convergência absoluta.

Passo 2

Usamos a identidade
\cos k\pi = (-1)^k,
portanto a série fica
\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\pi}{k\sqrt{k}} =\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^{3/2}}.

Passo 3

Para ver se converge absolutamente, olhamos para
\sum_{k=1}^\infty \Bigl|\tfrac{(-1)^k}{k^{3/2}}\Bigr| =\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{3/2}}.
Isto é uma p-série com p=\tfrac32>1, logo converge.

Passo 4

Como a série converge em módulo, ela é absolutamente convergente. Daí segue que ela converge de forma própria, não apenas condicionalmente.

Resposta

A série é absolutamente convergente (portanto convergente).

Exercícios relacionados