Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum \frac{n \ln n+4}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\ln n + 4}{n^{2}}.
O conteúdo envolvido são séries de termos positivos, em particular p-séries e teste de comparação.

Passo 2

Note que o termo geral se decompõe em
\frac{n\ln n + 4}{n^{2}} = \frac{\ln n}{n} + \frac{4}{n^{2}}.
Como todas as parcelas são não negativas, a soma das séries componentes converge se e somente se ambas convergirem; e diverge se alguma delas divergir.

Passo 3

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^{2}}
é uma p-série com p=2>1, portanto converge.

Passo 4

Para estudar
\sum \frac{\ln n}{n}, use o teste de comparação direta com a série harmônica. Note que, para n\ge 3, temos \ln n\ge 1, logo
\frac{n\ln n + 4}{n^{2}} \ge \frac{n\cdot 1}{n^{2}} = \frac{1}{n}.
Como
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} diverge, segue pelo teste de comparação que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\ln n + 4}{n^{2}} também diverge.

Resposta

A série diverge.

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