Exercício 5: Determine uma representação paramétrica para a superfície em cada caso.
0 pedaço da superfície de equação y=6-3 x^{2}-2 z^{2} que está à direita do plano x z.

Passo 1

O enunciado pede uma representação paramétrica para o “teto” do paraboloide
y = 6 \;-\; 3x^{2}\;-\;2z^{2}
que fica do lado positivo do plano xz, ou seja, com y\ge0.

Passo 2

O plano xz é dado por y=0. Portanto o trecho pedido satisfaz
6 - 3x^{2} - 2z^{2} \;\ge\; 0
que equivale à região elíptica no plano xz:
3x^{2} + 2z^{2} \;\le\; 6.

Passo 3

Como y já está explicitado em função de x e z, uma parametrização direta é
\mathbf{r}(u,v) \;=\;\bigl(u,\;6 - 3u^{2} - 2v^{2},\;v\bigr),
com domínio
D = \{(u,v)\mid 3u^{2} + 2v^{2}\le6\}.

Passo 4

Para usar coordenadas elípticas e ter domínio circular, faça
u = \sqrt{2}\,r\cos\theta, \qquad v = \sqrt{3}\,r\sin\theta,
onde 0\le r\le1 e 0\le\theta<2\pi. Então
y = 6 - 3(\sqrt{2}\,r\cos\theta)^{2} - 2(\sqrt{3}\,r\sin\theta)^{2} = 6 - 6r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta) = 6(1-r^{2}),
logo uma parametrização alternativa é
\mathbf{r}(r,\theta) = \bigl(\sqrt{2}\,r\cos\theta,\;6(1 - r^{2}),\;\sqrt{3}\,r\sin\theta\bigr),
com 0\le r\le1, 0\le\theta<2\pi.

Resposta

Uma parametrização óbvia é
\mathbf{r}(u,v) = \bigl(u,\;6 - 3u^{2} - 2v^{2},\;v\bigr), \quad 3u^{2} + 2v^{2}\le6.
Usando coordenadas elípticas, outra boa escolha é
\mathbf{r}(r,\theta) = \bigl(\sqrt{2}\,r\cos\theta,\;6(1 - r^{2}),\;\sqrt{3}\,r\sin\theta\bigr),
0\le r\le1,\quad 0\le\theta<2\pi.

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