Sejam f e g funções tais que: lim x infty f(x)= infty, lim x infty g(x)=infty. Determine se cada um dos limites a seguir pode ser determinado com base nesta informação. Se ele puder, dê o valor do limite, do contrário, mostre, por uma escolha específica de f e g, que ele não pode.
lim x infty f(x) g(x)

Passo 1

O enunciado pede para analisar o limite limxtoinfty f(x)g(x) dado que limxtoinfty f(x)=infty e limxtoinfty g(x)=infty. O conteúdo aqui é limites que divergem para +infty e queremos usar a definição de limite para +infty.

Passo 2

Como f(x)toinfty e g(x)toinfty, existem Xf e Xg tais que para todo x> Xf temos f(x)>0 e para todo x>Xg temos g(x)>0. Logo, além de irem a +infty, ambas são eventualmente positivas.

Passo 3

Vamos usar a definição de limite divergente: para mostrar que f(x)g(x)toinfty, dado um número arbitrário N>0 precisamos encontrar X tal que para todo x>X valha f(x)g(x)>N.

Passo 4

Escolhemos A=raizN. Como f(x)toinfty, existe Mf tal que para x>Mf vale f(x)>raizN. Similarmente, existe Mg tal que para x>Mg vale g(x)>raizN.

Passo 5

Tomando X=maxXf,Xg,Mf,Mg, para todo x>X temos f(x)>raizN e g(x)>raizN, logo
f(x)g(x)>raizNcdotraizN=N
Portanto, pelo critério de definição, limxtoinfty f(x)g(x)=infty.

Resposta

infty

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