Classifique as séries abaixo absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
sumn=2^infty(-1)^n ln nn^2

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a série alternada sumn=2^infty(-1)^nln nn^2. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos precisar testar convergência absoluta (via teste da integral) para classificá-la.

Passo 2

Para o teste de convergência absoluta, consideramos a série de termos positivos
sumn=2^inftyl|(-1)^ntfracln nn^2r|=sumn=2^inftyln nn^2
Aplicamos o teste da integral analisando
integral2^inftyln xx^2,dx
Fazendo integração por partes com u=ln x, dv=x^-2dx, obtemos
integralln xx^2dx=-ln xx-1x+C=-ln x+1x+C
Então,
integral2^inftyln xx^2dx=igl[-tfracln x+1xr]2^infty=0+ln2+12
logo a série de valores absolutos converge.

Passo 3

Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original converge de forma absoluta. Portanto, ela é absolutamente convergente.

Resposta

absolutamente convergente

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