Determinar a função derivada da função dada:

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função racional, ou seja, uma razão entre dois polinômios. O conteúdo aqui é a regra do quociente e vamos precisar identificar o numerador e denominador, além de calcular suas derivadas.

Passo 2

Seja f(x)=x²−3x+2 e g(x)=x²−x+2. A regra do quociente diz que, para y=f(x)/g(x), temos y’ dada por:
y' = f'(x),g(x) - f(x),g'(x)[g(x)]^2

Passo 3

Calculemos primeiro as derivadas de f e g:
Para f(x)=x²−3x+2, temos f’(x)=2x−3;
Para g(x)=x²−x+2, temos g’(x)=2x−1.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do quociente:
y' = (2x-3)(x^2 - x + 2) - (x^2 - 3x + 2)(2x - 1)(x^2 - x + 2)^2

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
(2x-3)(x²−x+2)=2x³−5x²+7x−6
(x²−3x+2)(2x−1)=2x³−7x²+7x−2
Subtraindo, obtemos 2x²−4=2(x²−2). Assim a derivada fica simples.

Resposta

y' = 2,(x^2 - 2)(x^2 - x + 2)^2

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