Classifique as séries abaixo absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
sumn=1^infty (-1)^n n^n(n+1)^n+1

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty (-1)^n n^n(n+1)^n+1. O objetivo é classificar sua convergência: vamos usar o teste de convergência absoluta e, depois, o critério de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Para a convergência absoluta, consideramos sumn=1^infty |an| com an=n^n(n+1)^n+1. Observamos que
n^n(n+1)^n+1 = 1n+1l(nn+1r)^n
Como limntoinfty (n/(n+1))^n = e^-1, segue que
|an|sim e^-1/n
e, por comparação com a série harmônica, sum |an| diverge. Logo, não há convergência absoluta.

Passo 3

Para a série alternada, aplicamos o critério de Leibniz: os termos an>0 devem ser monoticamente decrescentes e satisfazer limntoinftyan=0. Já vimos que lim an=0. Pode-se mostrar, por razão ou analisando a função contínua equivalente, que an+1 para n grande. Assim, a série converge pelo teste de Leibniz.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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