Classifique as séries abaixo absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
Passo 1
A gente tem a série
, com
. Ela é alternada, então vamos estudar primeiro a convergência absoluta (analisando
) e depois a convergência condicional (usando o critério de Leibniz).
Passo 2
Para testar a convergência absoluta, olhamos para a série de termos positivos
Usamos o teste da integral: consideramos
Sabemos que essa integral converge se e somente se
(por exemplo, integrando por partes dá um termo que cresce como
no infinito). Logo,
converge para
e diverge para
.
Passo 3
Para ver a convergência condicional da série alternada
com
, aplicamos o critério de Leibniz. Precisamos de três coisas: (i)
, (ii)
quando
, e (iii)
é decrescente para
grande.
(i) É óbvio que
. (ii) Como
cresce mais devagar que qualquer potência de
, temos
para todo
. (iii) A derivada de
dá
a partir de
, então
é decrescente depois de um índice fixo. Assim, a série alternada converge para todo
.
Passo 4
Juntando tudo: para
a série de termos positivos
converge, então a original converge absolutamente. Para
a série não converge absolutamente, mas converge pela Leibniz.
Resposta
A série converge absolutamente se e somente se
, e converge condicionalmente para
.