Classifique as séries abaixo absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
sumn=1^infty(-1)^n ln nn^p, p>0

Passo 1

A gente tem a série sumn=1^infty(-1)^nln nn^p, com p>0. Ela é alternada, então vamos estudar primeiro a convergência absoluta (analisando sum|an|) e depois a convergência condicional (usando o critério de Leibniz).

Passo 2

Para testar a convergência absoluta, olhamos para a série de termos positivos
sumn=1^inftyln nn^p
Usamos o teste da integral: consideramos
integral2^inftyln xx^p,dx
Sabemos que essa integral converge se e somente se p>1 (por exemplo, integrando por partes dá um termo que cresce como x^1-p no infinito). Logo, sumln n/n^p converge para p>1 e diverge para p<=1.

Passo 3

Para ver a convergência condicional da série alternada
sumn=1^infty(-1)^nan com an=ln nn^p, aplicamos o critério de Leibniz. Precisamos de três coisas: (i) an>0, (ii) anto0 quando ntoinfty, e (iii) an é decrescente para n grande.
(i) É óbvio que an>0. (ii) Como ln n cresce mais devagar que qualquer potência de n, temos limntoinfty ln n/n^p=0 para todo p>0. (iii) A derivada de f(x)=ln x/x^p f'(x)<0 a partir de x>e, então an é decrescente depois de um índice fixo. Assim, a série alternada converge para todo p>0.

Passo 4

Juntando tudo: para p>1 a série de termos positivos sum|an| converge, então a original converge absolutamente. Para 0 a série não converge absolutamente, mas converge pela Leibniz.

Resposta

A série converge absolutamente se e somente se p>1, e converge condicionalmente para 0.

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