Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções:
1e^2-1 & se r<1, r=|(x, y)| 0 & se r >= 1

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos em
R^2 onde a função
f(x,y)= 1e^2 -1, &r<1, 0,&r>=1,
com r=|(x,y)|, é contínua. O conteúdo aqui é continuidade de funções por partes e vamos usar que constantes são contínuas e verificar a fronteira r=1.

Passo 2

Para r<1, a função vale sempre a mesma constante
c=tfrac1e^2-1. Como toda função constante é contínua em qualquer ponto do seu domínio, concluímos que todos os pontos com r<1 são pontos de continuidade.

Passo 3

Para r>1, a função vale sempre zero. De novo, zero é uma constante, então a parte externa ao disco de raio 1 também é toda composta por pontos de continuidade.

Passo 4

Agora olhamos a fronteira r=1. Se nos aproximamos de um ponto com r=1 pelo interior ( r<1), o valor de f tende a c=1/(e^2-1). Se nos aproximamos pelo exterior ( r>1), o valor tende a 0. Como cneq0, esses limites laterais não coincidem, logo f é descontínua em cada ponto com r=1.

Resposta

O conjunto de pontos de continuidade é
{(x,y)\in\mathbb{R}^2:,|(x,y)|\neq1\}.

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