Classifique as séries abaixo absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolve classificação de séries numéricas, teste de p-séries, teste de convergência absoluta e o critério de Leibniz para séries alternadas.
Passo 2
Reconhecemos que . Então a série pode ser reescrita como
Passo 3
Para verificar convergência absoluta, consideramos
Isto é uma p-série com p=3/4<1, que é conhecida por divergir. Logo a série não converge absolutamente.
Passo 4
Para verificar convergência condicional, aplicamos o critério de Leibniz: os termos an=1/n^3/4 são positivos, estritamente decrescentes e tendem a zero quando ntoinfty. Portanto a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n an
converge.
Passo 5
Como não converge absolutamente, mas converge pelo critério de Leibniz, concluímos que a série é condicionalmente convergente.