Classifique as séries abaixo absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
sumn=1^infty cos (n pi)n^3 / 4

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série sumn=1^inftycos(npi)n^3/4 em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolve classificação de séries numéricas, teste de p-séries, teste de convergência absoluta e o critério de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Reconhecemos que cos(npi)=(-1)^n. Então a série pode ser reescrita como
sumn=1^infty(-1)^nn^3/4

Passo 3

Para verificar convergência absoluta, consideramos
sumn=1^inftyl|(-1)^nn^3/4r| = sumn=1^infty1n^3/4
Isto é uma p-série com p=3/4<1, que é conhecida por divergir. Logo a série não converge absolutamente.

Passo 4

Para verificar convergência condicional, aplicamos o critério de Leibniz: os termos an=1/n^3/4 são positivos, estritamente decrescentes e tendem a zero quando ntoinfty. Portanto a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n an
converge.

Passo 5

Como não converge absolutamente, mas converge pelo critério de Leibniz, concluímos que a série é condicionalmente convergente.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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