Comprove que a integral de linha tem o mesmo valor em para cada uma das seguintes parametrizações:
[
Passo 1
Nesta questão, a gente quer mostrar que a integral de linha dá o mesmo valor para três maneiras diferentes de percorrer a mesma curva que liga a . O conteúdo é cálculo de integrais de linha por parametrização e vamos precisar: parametrizar , calcular , substituir na forma diferencial e integrar em .
Passo 2
Para a primeira parametrização , temos
Substituindo na integral:
Expandindo e somando termos:
Logo o integrando é
Integrando de 0 a 1:
Passo 3
Para a segunda parametrização ,
Então
Integrando de 1 a :
Passo 4
Para a terceira parametrização x=ln t, y=2ln t, e<= t<= e^3,
dx = dtt, dy = 2dtt
A integral vira y^2,dx + x y,dy = (2ln t)^2dtt + (ln tcdot2ln t)2dtt =4(ln t)^2dtt +4(ln t)^2dtt =8(ln t)^2dtt
Fazendo a substituição u=ln t, du=dt/t, com u de 1 a 3: