Comprove que a integral de linha integralC y^2 d x+x y d y tem o mesmo valor em C para cada uma das seguintes parametrizações:
[
& C: x=2 t+1, y=4 t+2,0 <= t <= 1 & C: x=t^2, y=2 t^2, 1 <= t <= raiz3 & C: x=ln t, y=2 ln t, e <= t <= e^3

Passo 1

Nesta questão, a gente quer mostrar que a integral de linha integralC y^2,dx + x y,dy dá o mesmo valor para três maneiras diferentes de percorrer a mesma curva que liga (1,2) a (3,6). O conteúdo é cálculo de integrais de linha por parametrização e vamos precisar: parametrizar x,y, calcular dx,dy, substituir na forma diferencial e integrar em t.

Passo 2

Para a primeira parametrização x=2t+1, y=4t+2, 0<= t<=1, temos
dx = 2,dt, dy = 4,dt
Substituindo na integral:
y^2,dx + x y,dy = (4t+2)^2cdot2,dt + (2t+1)(4t+2)cdot4,dt
Expandindo e somando termos:
(4t+2)^2cdot2 = (16t^2+16t+4)cdot2 = 32t^2+32t+8,
(2t+1)(4t+2)cdot4 = (8t^2+8t+2)cdot4 = 32t^2+32t+8
Logo o integrando é
64t^2+64t+16
Integrando de 0 a 1:
integral0^1(64t^2+64t+16),dt = l[tfrac643t^3 +32t^2+16tr]0^1 = tfrac643+32+16 = tfrac2083

Passo 3

Para a segunda parametrização x=t^2, y=2t^2, 1<= t<=raiz3,
dx = 2t,dt, dy = 4t,dt
Então
y^2,dx + x y,dy = (2t^2)^2cdot2t,dt + (t^2cdot2t^2)cdot4t,dt = 4t^4cdot2t +2t^4cdot4t = 8t^5+8t^5 =16t^5
Integrando de 1 a raiz3:
integral1^raiz316t^5,dt =16cdottfract^66|1^raiz3 = tfrac83(27-1) = tfrac2083

Passo 4

Para a terceira parametrização x=ln t, y=2ln t, e<= t<= e^3,
dx = dtt, dy = 2dtt
A integral vira
y^2,dx + x y,dy = (2ln t)^2dtt + (ln tcdot2ln t)2dtt =4(ln t)^2dtt +4(ln t)^2dtt =8(ln t)^2dtt
Fazendo a substituição u=ln t, du=dt/t, com u de 1 a 3:
integrale^e^38(ln t)^2dtt =8integral1^3u^2,du =8l[tfracu^33r]1^3 =8cdottfrac263=tfrac2083

Passo 5

Como em todas as três parametrizações a integral deu tfrac2083, concluímos que o valor é o mesmo independentemente de como percorremos a curva.

Resposta

\tfrac{208}{3}

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