A função diferenciável
é dada implicitamente pela equação
(
um real fixo), onde
é suposta diferenciável e
. Verifique que
[
u \frac{\partial z}{\partial u}+v \frac{\partial z}{\partial v}=\lambda z .
u \frac{\partial z}{\partial u}+v \frac{\partial z}{\partial v}=\lambda z .
Passo 1
A questão diz que temos uma função diferenciável
definida implicitamente por
, com
e
. O conteúdo aqui é usar diferenciação implícita e, no fim, obter a relação de Euler para funções homogêneas.
Passo 2
Vamos introduzir duas funções auxiliares:
e
. Assim a condição implícita fica
.
Passo 3
Para achar
, derivamos
em relação a
, usando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora calculamos cada derivada:
Passo 5
Substituindo em
dá
Passo 6
Para
, repetimos diferenciando
em relação a
:
Passo 7
Aqui
Passo 8
Multiplicando tudo por
e isolando
obtemos
Passo 9
Agora usamos a expressão de
em termos de
(da etapa anterior):
. Substituindo em
dá
Passo 10
Finalmente somamos
: