A função diferenciável z=z(u, v) é dada implicitamente pela equação lambda neq 0 ( f(x, y) um real fixo), onde partial fpartial y(x, y) neq 0 é suposta diferenciável e . Verifique que
[
u \frac{\partial z}{\partial u}+v \frac{\partial z}{\partial v}=\lambda z .

Passo 1

A questão diz que temos uma função diferenciável z=z(u,v) definida implicitamente por fl(u/v,,z/v^lambdar)=0, com lambdaneq0 e fyneq0. O conteúdo aqui é usar diferenciação implícita e, no fim, obter a relação de Euler para funções homogêneas.

Passo 2

Vamos introduzir duas funções auxiliares: a(u,v)=u/v e b(u,v)=z(u,v)/v^lambda. Assim a condição implícita fica F(u,v,z)=fl(a(u,v),b(u,v)r)=0.

Passo 3

Para achar partial z/partial u, derivamos F(u,v,z(u,v))=0 em relação a u, usando a regra da cadeia:
fx,partial apartial u+fy,partial bpartial u=0

Passo 4

Agora calculamos cada derivada:
partial apartial u=1v,partial bpartial u=v^-lambda,partial zpartial u

Passo 5

Substituindo em fx(cdots)+fy(cdots)=0
fx,1v+fy,v^-lambda,zu=0 onde escrevemos zu=partial z/partial u. Isolando zu vem
zu=-fxfy;v^lambda-1

Passo 6

Para partial z/partial v, repetimos diferenciando F=0 em relação a v:
fx,partial apartial v+fy,partial bpartial v=0

Passo 7

Aqui
partial apartial v=-uv^2,partial bpartial v=v^-lambda,zv-lambda,v^-lambda-1,z, então
fxl(-uv^2r)+fyl(v^-lambdazv-lambda v^-lambda-1zr)=0

Passo 8

Multiplicando tudo por v^lambda e isolando zv=partial z/partial v obtemos
zv=u fxv^2 fy;v^lambda+lambda zv

Passo 9

Agora usamos a expressão de fx em termos de zu (da etapa anterior): fx=-fy,v^lambda-1zu. Substituindo em zv
zv=u(-fy,v^lambda-1zu)v^2fy;v^lambda+lambda zv=lambdazv-uvzu

Passo 10

Finalmente somamos u zu+v zv:
u zu+v zv=u zu+vl(lambdatfraczv-tfracuvzur)=lambda z

Resposta

upartial zpartial u+vpartial zpartial v=lambda z

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