Encontre a derivada de e^sen^2 3 x, no ponto x=pi / 12.

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos encontrar a derivada de f(x)=e^sin^2(3x) no ponto x=pi/12. O conteúdo principal é a regra de cadeia em funções compostas e uma identidade trigonométrica.

Passo 2

Aplicação da regra de cadeia: para f(x)=e^g(x), vale f'(x)=e^g(x)g'(x). Aqui g(x)=sin^2(3x). Derivando g(x) por regra da potência e cadeia, temos
g'(x)=2sin(3x)cdot(sin(3x))'=2sin(3x)cdotcos(3x)cdot3=6sin(3x)cos(3x)

Passo 3

Portanto
f'(x)=e^sin^2(3x)cdot6sin(3x)cos(3x)

Passo 4

Simplificação com identidade trigonométrica: usando 2sin tcos t=sin(2t), obtemos
6sin(3x)cos(3x)=3cdot2sin(3x)cos(3x)=3sin(6x),
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f'(x)=3sin(6x),e^sin^2(3x)

Passo 5

Avaliação em x=pi/12: calcula-se
sinl(6cdottfracpi12r)=sinl(tfracpi2r)=1,
sinl(3cdottfracpi12r)=sinl(tfracpi4r)=tfracraiz22,logo sin^2(3x)=tfrac12
Assim
f'(pi/12)=3cdot1cdot e^1/2=3e^1/2

Resposta

3e^1/2

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