Classifique as séries abaixo absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui é teste da razão para estudar convergência absoluta: vamos olhar a série de módulos dos termos e aplicar o teste da razão.
Passo 2
Para aplicar o teste da razão, escrevemos o termo genérico positivo como
. Então
[ \
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{(n+1)!}{\prod_{k=0}^{n+1}(3k+2)} \bigg/ \frac{n!}{\prod_{k=0}^{n}(3k+2)} = \frac{n+1}{3(n+1)+2} = \frac{n+1}{3n+5}.
\ ]
[ \
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{(n+1)!}{\prod_{k=0}^{n+1}(3k+2)} \bigg/ \frac{n!}{\prod_{k=0}^{n}(3k+2)} = \frac{n+1}{3(n+1)+2} = \frac{n+1}{3n+5}.
\ ]
Passo 3
Agora tomamos o limite quando
:
[ \
\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{3n+5} = \frac{1}{3} < 1.
\ ]
[ \
\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{3n+5} = \frac{1}{3} < 1.
\ ]
Passo 4
Como o limite da razão é menor que 1, o teste da razão garante que
converge. Logo a série original converge absolutamente.
Resposta
A série é absolutamente convergente.