Classifique as séries abaixo absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
sumn=1^infty (-1)^n n!2 cdot 5 cdot ldots cdot(3 n+2)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série sumn=1^infty (-1)^n n!2cdot5cdotldotscdot(3n+2) como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui é teste da razão para estudar convergência absoluta: vamos olhar a série de módulos dos termos e aplicar o teste da razão.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, escrevemos o termo genérico positivo como bn=n!prodk=0^n(3k+2). Então
[ \
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{(n+1)!}{\prod_{k=0}^{n+1}(3k+2)} \bigg/ \frac{n!}{\prod_{k=0}^{n}(3k+2)} = \frac{n+1}{3(n+1)+2} = \frac{n+1}{3n+5}.
\ ]

Passo 3

Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
[ \
\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{3n+5} = \frac{1}{3} < 1.
\ ]

Passo 4

Como o limite da razão é menor que 1, o teste da razão garante que sum bn converge. Logo a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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