Classifique as séries abaixo absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
sumn=1^infty(-1)^n n tg(1 / n)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série sumn=1^infty(-1)^nntan(1/n). O conteúdo envolve testes de convergência de séries, em particular o teste da condição necessária anto0 e o uso de expansão em série de Taylor de funções trigonométricas.

Passo 2

Para entender o comportamento de tan(1/n) quando n é grande, aplicamos a expansão de Taylor em torno de zero:
tan x = x + tfracx^33 + o(x^4) (xto0)
Substituindo x=1/n, obtemos:
tanl(1/nr)=tfrac1n + tfrac13n^3 + ol(n^-4r)

Passo 3

Multiplicando por n, temos
ntan(1/n)=1 + tfrac13n^2 + o(n^-3)
Logo o termo geral da série é
an = (-1)^n ntan(1/n)=(-1)^nl(1 + o(1)r)

Passo 4

Como an não tende a zero (ele oscila entre valores próximos de +1 e -1), falha a condição necessária para convergência de séries infinitas. Portanto a série não converge.

Passo 5

Concluímos que a série diverge, ou seja, não é nem absolutamente nem condicionalmente convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^nntan(1/n) diverge.

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