Considere as três curvas entre (0,0) e (2,4) :
& C: x=t, y=2 t, 0 <= t <= 2 & C: x=t, y=t^2, 0 <= t <= 2 & C: x=2 t-4, y=4 t-8,2 <= t <= 3
Mostre que
integralC1 x y d s=integralC3 x y d s, mas integralC1 x y d s neq integralC2 x y d s. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integrais de linha do tipo ∫_C x y d s em três curvas diferentes ligando (0,0) a (2,4) e mostrar que para as curvas C₁ e C₃ essas integrais coincidem, mas para C₂ são distintas. O conteúdo aplicado aqui é integral de linha de função escalar f(x,y)=xy, que se resolve parametricamente escrevendo d s=|r′(t)|d t e integrando f(r(t))⋅|r′(t)|.

Passo 2

Parametrizando C₁ por r₁(t)=(t,2t), t∈[0,2], temos r₁′(t)=(1,2) e portanto
d s=raiz1^2+2^2,d t=raiz5,d t
Além disso x y=(t)(2t)=2t². Logo
integralC1x y,d s=integral0^2(2t^2)(raiz5),d t=2raiz5integral0^2t^2,d t=2raiz5cdot83=16raiz53

Passo 3

Parametrizando C₃ por r₃(t)=(2t−4,4t−8), t∈[2,3], obtemos r₃′(t)=(2,4) e
d s=raiz2^2+4^2,d t=2raiz5,d t
Aqui x y=(2t−4)(4t−8)=8(t−2)^2. Fazendo u=t−2, u∈[0,1], temos
integralC3x y,d s=2raiz5integral2^38(t-2)^2,d t=16raiz5integral0^1u^2,d u=16raiz5cdot13=16raiz53
Portanto ∫_{C_1}x y d s=∫_{C_3}x y d s por as duas curvas serem o mesmo segmento com reparametrizações diferentes.

Passo 4

Na curva C₂, r₂(t)=(t,t²), t∈[0,2], temos r₂′(t)=(1,2t) e
d s=raiz1+4t^2,d t,
com x y=t^3. Logo
integralC2x y,d s=integral0^2t^3raiz1+4t^2,d t
Fazendo a troca de variável u=1+4t^2, du=8t d t, obtemos
integralC2x y,d s=132integral1^17(u-1)raizu,d u=132integral1^17(u^3/2-u^1/2),d u=132l[tfrac25u^5/2-tfrac23u^3/2r]1^17,
que numericamente dá cerca de 13,44, diferente de 16√5/3 ≃11,93.

Passo 5

Como as integrais em C₁ e C₃ valem ambas 16raiz5/3 e a integral em C₂ vale outro valor, concluímos que ∫_{C_1}x y d s=∫_{C_3}x y d s, mas ∫_{C_1}x y d s≠∫_{C_2}x y d s. A igualdade em C₁ e C₃ ocorre porque são o mesmo caminho geométrico (reta) apenas reparametrizado, enquanto C₂ é uma curva distinta.

Resposta

∫_{C_1}x y,d s=∫_{C_3}x y,d s=\tfrac{16\sqrt{5}}{3}, mas ∫_{C_1}x y,d s≠∫_{C_2}x y,d s (C₂ dá valor ≃13,44).

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