Considere as três curvas entre
e
:
Mostre que
, mas
. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para calcular integrais de linha do tipo ∫_C x y d s em três curvas diferentes ligando (0,0) a (2,4) e mostrar que para as curvas C₁ e C₃ essas integrais coincidem, mas para C₂ são distintas. O conteúdo aplicado aqui é integral de linha de função escalar f(x,y)=xy, que se resolve parametricamente escrevendo d s=|r′(t)|d t e integrando f(r(t))⋅|r′(t)|.
Passo 2
Parametrizando C₁ por r₁(t)=(t,2t), t∈[0,2], temos r₁′(t)=(1,2) e portanto
Além disso x y=(t)(2t)=2t². Logo
Passo 3
Parametrizando C₃ por r₃(t)=(2t−4,4t−8), t∈[2,3], obtemos r₃′(t)=(2,4) e
Aqui x y=(2t−4)(4t−8)=8(t−2)^2. Fazendo u=t−2, u∈[0,1], temos
Portanto ∫_{C_1}x y d s=∫_{C_3}x y d s por as duas curvas serem o mesmo segmento com reparametrizações diferentes.
Passo 4
Na curva C₂, r₂(t)=(t,t²), t∈[0,2], temos r₂′(t)=(1,2t) e
com x y=t^3. Logo
Fazendo a troca de variável u=1+4t^2, du=8t d t, obtemos
que numericamente dá cerca de 13,44, diferente de 16√5/3 ≃11,93.
Passo 5
Como as integrais em C₁ e C₃ valem ambas
e a integral em C₂ vale outro valor, concluímos que ∫_{C_1}x y d s=∫_{C_3}x y d s, mas ∫_{C_1}x y d s≠∫_{C_2}x y d s. A igualdade em C₁ e C₃ ocorre porque são o mesmo caminho geométrico (reta) apenas reparametrizado, enquanto C₂ é uma curva distinta.
Resposta
∫_{C_1}x y,d s=∫_{C_3}x y,d s=\tfrac{16\sqrt{5}}{3}, mas ∫_{C_1}x y,d s≠∫_{C_2}x y,d s (C₂ dá valor ≃13,44).