Classifique as séries abaixo absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
sumn=1^infty(-1)^n raiznn+4

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série alternante sumn=1^infty(-1)^n raiznn+4. O conteúdo envolve séries alternantes, teste de convergência absoluta (p-série) e o critério de Leibniz para séries alternantes.

Passo 2

Para testar a convergência absoluta, consideramos a série de termos positivos
sumn=1^infty|(-1)^nraiznn+4|=sumn=1^inftyraiznn+4
Para n grande, raiznn+4simraiznn=1raizn. Como a p-série com p=1/2 diverge (pois p<=1), essa série de valores absolutos também diverge. Logo não há convergência absoluta.

Passo 3

Agora usamos o critério de Leibniz para ver se há convergência condicional. Definimos bn=raiznn+4>0. Note que
  1. limntoinftybn=0.
  2. Para n>=5, a função f(x)=raizxx+4 tem derivada negativa, o que garante que (bn) é decrescente a partir de um certo índice.
    Como ambos os requisitos do teste de Leibniz (termino tendendo a zero e monotonia a partir de certo ponto) são satisfeitos, a série alternante converge.

Passo 4

Portanto, a série não é absolutamente convergente, mas converge por Leibniz, ou seja, converge condicionalmente.

Resposta

Condicionalmente convergente

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