Classifique as séries abaixo absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série alternante . O conteúdo envolve séries alternantes, teste de convergência absoluta (p-série) e o critério de Leibniz para séries alternantes.
Passo 2
Para testar a convergência absoluta, consideramos a série de termos positivos
Para n grande, raiznn+4simraiznn=1raizn. Como a p-série com p=1/2 diverge (pois p<=1), essa série de valores absolutos também diverge. Logo não há convergência absoluta.
Passo 3
Agora usamos o critério de Leibniz para ver se há convergência condicional. Definimos bn=raiznn+4>0. Note que
limntoinftybn=0.
Para n>=5, a função f(x)=raizxx+4 tem derivada negativa, o que garante que (bn) é decrescente a partir de um certo índice.
Como ambos os requisitos do teste de Leibniz (termino tendendo a zero e monotonia a partir de certo ponto) são satisfeitos, a série alternante converge.
Passo 4
Portanto, a série não é absolutamente convergente, mas converge por Leibniz, ou seja, converge condicionalmente.