Determinar os pontos críticos das seguintes funções:

Passo 1

Neste exercício, a gente quer encontrar os pontos críticos da função f(x)=x^5 - x^4. O conteúdo aqui é derivada de polinômios e definição de ponto crítico, e vamos precisar usar a regra do poder e saber que pontos críticos são onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe.

Passo 2

Calcular a derivada de f usando a regra do poder:
$$\nf’(x) = 5x^4 - 4x^3
$$
Aqui aplicamos que se nf'(x) = 5x^4 - 4x^3 , então f(x) = x^n, e usamos a linearidade da derivada.

Passo 3

Fatorar f'(x) para achar as raízes de forma mais simples:
$$\nf’(x) = 5x^4 - 4x^3 = x^3(5x - 4)
$$
A fatoração facilita encontrar onde nf'(x) = 5x^4 - 4x^3 = x^3(5x - 4) .

Passo 4

Determinar as soluções de f'(x)=0. Da fatoração x^3(5x - 4)=0, temos duas situações:
  • x^3=0, que dá x=0;
  • 5x-4=0, que dá x=4/5.
    Como a derivada existe para todo x, esses são todos os pontos críticos.

Resposta

Os pontos críticos são x = 0 e x = tfrac45.

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