Classifique as séries abaixo absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes:
sumn=1^infty(-1)^n cos (n!)raiz[3]n^4+sen n

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos classificar a convergência da série sumn=1^infty(-1)^ncos(n!)raiz[3]n^4+sin n. O conteúdo aqui é convergência de séries, em particular distinguir convergência absoluta, condicional ou divergência, e vamos usar o teste da comparação com uma série-p.

Passo 2

Teste de convergência absoluta: consideramos a série dos módulos sumn=1^inftyl|anr|=sumn=1^infty|cos(n!)|(n^4+sin n)^1/3. Como |cos(n!)|<=1 e para n grande temos n^4+sin n>= n^4-1, logo
(n^4+sin n)^1/3>= (n^4/2)^1/3=2^-1/3,n^4/3, então
|cos(n!)|(n^4+sin n)^1/3<=12^-1/3,n^4/3=2^1/31n^4/3

Passo 3

Como sum1/n^4/3 é convergente (p-série com p=4/3>1), pelo teste da comparação a série dos módulos converge. Portanto a série original converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados