Determinar os pontos críticos das seguintes funções:

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função f(x)=xx^2+2x+9. O conteúdo principal aqui é derivadas de funções quociente, então vamos precisar usar a regra do quociente para obter f'(x) e depois resolver f'(x)=0.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente: o numerador é N(x)=x e o denominador é D(x)=x^2+2x+9. Então
f'(x)=D(x)cdot N'(x)-N(x)cdot D'(x)[D(x)]^2 = (x^2+2x+9)cdot1 - xcdot(2x+2)(x^2+2x+9)^2

Passo 3

Simplificando o numerador:
(x^2+2x+9) - (2x^2+2x) = -x^2+9,
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f'(x)=-x^2+9(x^2+2x+9)^2

Passo 4

Para achar onde f'(x)=0 basta resolver o numerador zero:
-x^2+9=0 implies x^2=9 implies x=pm3
Como o denominador (x^2+2x+9)^2 é sempre positivo ( x^2+2x+9=(x+1)^2+8>0 para todo x), não há pontos em que f'(x) fique indefinida.

Passo 5

Finalmente, avaliamos f em x=3 e x=-3:
f(3)=39+6+9=324=18,
f(-3)=-39-6+9=-312=-14

Resposta

Os pontos críticos são $ (3,\tfrac18) $ e $ (-3,-\tfrac14) $.

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