ou série geométrica. Em seguida, calcule o valor da soma. \sum_{n=3}^{+\infty} 5\left(\frac{3}{5}\right)^{n}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: classificar a série dada como “telescópica” ou “série geométrica” e, em seguida, calcular a soma da série. A série fornecida é
Informações relevantes que temos: o fator constante 5 multiplicando a potência e a base da potência é \frac{3}{5}. O somatório começa em n=3 e vai até o infinito.
Passo 2
Vamos identificar o tipo da série. Observe dois termos consecutivos gerais:
Como esse quociente é constante (não depende de n), a série é uma série geométrica. Lembrete didático: uma série geométrica tem a forma básica \sum_{n=k}^{\infty} ar^{n} (ou \sum_{n=0}^\infty ar^n), onde a é uma constante multiplicativa e r é a razão. Ela converge (tem soma finita) se, e somente se, |r|<1. Quando |r|<1, a soma da série geométrica que começa em n=0 é
\sum_{n=0}^{\infty} r^n=\frac{1}{1-r}.
Essa fórmula vem da soma parcial finita \sum_{n=0}^{N} r^n=\frac{1-r^{N+1}}{1-r} e passando ao limite N\to\infty quando |r|<1.
Passo 3
Aplique isso ao nosso caso. Aqui podemos considerar a parte geométrica com r=\frac{3}{5}. Como a série começa em n=3, usamos a fórmula ajustada
\sum_{n=3}^{\infty} r^n=\frac{r^{3}}{1-r},
válida quando |r|<1. No nosso problema há também o fator 5 multiplicando a soma; portanto