Classifique as séries abaixo como telescópica
ou série geométrica. Em seguida, calcule o valor da soma.
\sum_{n=3}^{+\infty} 5\left(\frac{3}{5}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: classificar a série dada como “telescópica” ou “série geométrica” e, em seguida, calcular a soma da série. A série fornecida é
\sum_{n=3}^{+\infty} 5\left(\frac{3}{5}\right)^{n}.
Informações relevantes que temos: o fator constante 5 multiplicando a potência e a base da potência é \frac{3}{5}. O somatório começa em n=3 e vai até o infinito.

Passo 2

Vamos identificar o tipo da série. Observe dois termos consecutivos gerais:
a_n = 5\left(\frac{3}{5}\right)^{n},\qquad a_{n+1}=5\left(\frac{3}{5}\right)^{n+1}.
O quociente entre termos consecutivos é
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{5\left(\frac{3}{5}\right)^{n+1}}{5\left(\frac{3}{5}\right)^{n}}=\frac{3}{5}.
Como esse quociente é constante (não depende de n), a série é uma série geométrica. Lembrete didático: uma série geométrica tem a forma básica \sum_{n=k}^{\infty} ar^{n} (ou \sum_{n=0}^\infty ar^n), onde a é uma constante multiplicativa e r é a razão. Ela converge (tem soma finita) se, e somente se, |r|<1. Quando |r|<1, a soma da série geométrica que começa em n=0 é
\sum_{n=0}^{\infty} r^n=\frac{1}{1-r}.
Essa fórmula vem da soma parcial finita \sum_{n=0}^{N} r^n=\frac{1-r^{N+1}}{1-r} e passando ao limite N\to\infty quando |r|<1.

Passo 3

Aplique isso ao nosso caso. Aqui podemos considerar a parte geométrica com r=\frac{3}{5}. Como a série começa em n=3, usamos a fórmula ajustada
\sum_{n=3}^{\infty} r^n=\frac{r^{3}}{1-r},
válida quando |r|<1. No nosso problema há também o fator 5 multiplicando a soma; portanto
\sum_{n=3}^{\infty} 5\left(\frac{3}{5}\right)^{n} =5\sum_{n=3}^{\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^{n} =5\cdot\frac{\left(\frac{3}{5}\right)^{3}}{1-\frac{3}{5}}.

Passo 4

Agora calculamos passo a passo os números:
\left(\frac{3}{5}\right)^{3}=\frac{27}{125}, \qquad 1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}.
Logo
\frac{\left(\frac{3}{5}\right)^{3}}{1-\frac{3}{5}} =\frac{\frac{27}{125}}{\frac{2}{5}} =\frac{27}{125}\cdot\frac{5}{2} =\frac{27\cdot5}{125\cdot2} =\frac{135}{250}=\frac{27}{50}.
Multiplicando pelo 5 externo:
5\cdot\frac{27}{50}=\frac{135}{50}=\frac{27}{10}.
Verificação de convergência: \left|\frac{3}{5}\right|=\frac{3}{5}<1, então a aplicação da fórmula está correta e a série converge.

Resposta

Série geométrica.
\dfrac{27}{10}

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