2.5 pontos Utilizando o teste da integral verifique que a série
converge.
Passo 1
O enunciado fornece a série
e pede que verifiquemos que ela converge utilizando o teste da integral.\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
Pergunta explícita: usar o teste da integral para mostrar que a série converge.
Passo 2
Vamos aplicar o teste da integral. Para isso definimos a função
O teste da integral exige que
seja positiva, contínua e (eventualmente) decrescente em
. Primeiro verifico positividade e continuidade: como
e
, temos
e
, então
para todo
. A função é racional com denominador sem zeros em
, logo é contínua em
.
Passo 3
Agora verifico que
é decrescente em
. Calculo a derivada de
. Defina
, então
e
. Seja
. Então
Como
, pela regra da cadeia
Substituindo
obtemos
Portanto
é decrescente em
. Assim as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.
Passo 4
Aplicamos o teste da integral: se a integral imprópria
converge, então a série
converge. Vou calcular essa integral. Faço a mudança de variável
, então quando
temos
e quando
temos
. Além disso
. Assim
Passo 5
Calculo a integral imprópria usando frações parciais. Escrevo
Multiplicando por
obtemos
. Igualando coeficientes ou substituindo valores conclui-se que
e
. Logo
Integro termo a termo:
Passo 6
Avalio o limite quando
:
Portanto a integral imprópria vale
Como
temos
e assim
é um número finito e positivo. Logo a integral converge (é finita).
Passo 7
Pelo teste da integral, já que
é positiva, contínua e decrescente em
e a integral imprópria
converge (vale
), concluímos que a série
converge.
Resposta
A série converge.