2.5 pontos Utilizando o teste da integral verifique que a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(\alpha+n)(\alpha+n+1)}, \alpha>0
converge.

Passo 1

O enunciado fornece a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(\alpha+n)(\alpha+n+1)},\qquad \alpha>0,
e pede que verifiquemos que ela converge utilizando o teste da integral.\n
Informações relevantes dadas:
\text{(i)}\\ \alpha>0,\qquad \text{(ii)}\\ \text{soma sobre }n=0,1,2,\dots
Pergunta explícita: usar o teste da integral para mostrar que a série converge.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da integral. Para isso definimos a função
f(x)=\frac{1}{(\alpha+x)(\alpha+x+1)},\qquad x\ge0.
O teste da integral exige que f seja positiva, contínua e (eventualmente) decrescente em [0,\infty). Primeiro verifico positividade e continuidade: como \alpha>0 e x\ge0, temos \alpha+x>0 e \alpha+x+1>0, então f(x)>0 para todo x\ge0. A função é racional com denominador sem zeros em [0,\infty), logo é contínua em [0,\infty).

Passo 3

Agora verifico que f é decrescente em [0,\infty). Calculo a derivada de f. Defina g(x)=\alpha+x, então f(x)=\dfrac{1}{g(x)(g(x)+1)} e g'(x)=1. Seja h(x)=g(x)(g(x)+1)=g^2+g. Então
h'(x)=2g(x)\,g'(x)+g'(x)=2g(x)+1.
Como f(x)=h(x)^{-1}, pela regra da cadeia
f'(x)=-\frac{h'(x)}{h(x)^2}=-\frac{2g(x)+1}{\bigl(g(x)\bigr)^2\bigl(g(x)+1\bigr)^2}.
Substituindo g(x)=\alpha+x>0 obtemos
f'(x)=-\frac{2(\alpha+x)+1}{(\alpha+x)^2(\alpha+x+1)^2}<0\quad\text{para todo }x\ge0.
Portanto f é decrescente em [0,\infty). Assim as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.

Passo 4

Aplicamos o teste da integral: se a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} f(x)\,dx=\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(\alpha+x)(\alpha+x+1)}
converge, então a série \sum_{n=0}^{\infty}f(n) converge. Vou calcular essa integral. Faço a mudança de variável u=\alpha+x, então quando x=0 temos u=\alpha e quando x\to\infty temos u\to\infty. Além disso du=dx. Assim
\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(\alpha+x)(\alpha+x+1)}=\int_{\alpha}^{\infty}\frac{du}{u(u+1)}.

Passo 5

Calculo a integral imprópria usando frações parciais. Escrevo
\frac{1}{u(u+1)}=\frac{A}{u}+\frac{B}{u+1}.
Multiplicando por u(u+1) obtemos 1=A(u+1)+Bu. Igualando coeficientes ou substituindo valores conclui-se que A=1 e B=-1. Logo
\frac{1}{u(u+1)}=\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1}.
Integro termo a termo:
\int_{\alpha}^{b}\frac{du}{u(u+1)}=\int_{\alpha}^{b}\Bigl(\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1}\Bigr)\,du =\bigl[\ln u-\ln(u+1)\bigr]_{u=\alpha}^{u=b}.

Passo 6

Avalio o limite quando b\to\infty:
\lim_{b\to\infty}\bigl(\ln b-\ln(b+1)\bigr)=\lim_{b\to\infty}\ln\frac{b}{b+1}=\ln 1=0.
Portanto a integral imprópria vale
\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(\alpha+x)(\alpha+x+1)}=0-\bigl(\ln\alpha-\ln(\alpha+1)\bigr) =-\ln\frac{\alpha}{\alpha+1}=\ln\frac{\alpha+1}{\alpha}.
Como \alpha>0 temos 0<\dfrac{\alpha}{\alpha+1}<1 e assim \ln\frac{\alpha+1}{\alpha} é um número finito e positivo. Logo a integral converge (é finita).

Passo 7

Pelo teste da integral, já que f é positiva, contínua e decrescente em [0,\infty) e a integral imprópria \displaystyle\int_{0}^{\infty}f(x)\,dx converge (vale \ln\frac{\alpha+1}{\alpha}), concluímos que a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(\alpha+n)(\alpha+n+1)}
converge.

Resposta

A série converge.

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