Classifique as séries dadas, em convergente ou divergente.
\begin{tabular}{lll}
\sum \frac{(\boldsymbol{n}+1)!}{(\boldsymbol{n}+3)!} & Escolher… & \uparrow \
\sum(\mathbf{2}-\boldsymbol{n}) \boldsymbol{n}^{\mathbf{3}} & Escolher… & \uparrow \
\sum \frac{\mathbf{1}}{\boldsymbol{n}+10} & Escolher… & \uparrow \
\sum \frac{\mathbf{2}^{\boldsymbol{o}+1}}{\mathbf{4}^{\boldsymbol{n}}} & Escolher… & \uparrow \
\sum \frac{\boldsymbol{n}^{\boldsymbol{n}}}{\mathbf{2}^{\boldsymbol{n}}} & Escolher… & \uparrow \
\hline

Passo 1

O enunciado pede para classificar cinco séries numéricas em convergente ou divergente. Vamos usar diferentes testes de convergência:
– teste da forma assintótica e p-séries;
– teste do termo geral;
– teste da série geométrica;
– teste da raiz (ou razão).

Passo 2

Considere a série
\sum \frac{(n+1)!}{(n+3)!}.
Note que
\frac{(n+1)!}{(n+3)!} =\frac{1}{(n+3)(n+2)} \sim\frac{1}{n^2}.
Como isso é uma p-série com p=2>1, a série converge.

Passo 3

Considere a série
\sum (2-n)\,n^3.
O termo geral é a_n=(2-n)n^3, que para n\to\infty cresce em módulo como -n^4. Como \lim_{n\to\infty}a_n\neq0, pelo teste do termo geral a série diverge.

Passo 4

Considere a série
\sum \frac{1}{n+10}.
Para grandes n, \tfrac1{n+10}\sim\tfrac1n. A harmônica \sum1/n diverge, logo por comparação esta também diverge.

Passo 5

Considere a série
\sum \frac{2^{n+1}}{4^n}.
Reescrevendo,
\frac{2^{n+1}}{4^n} =2\cdot\bigl(\tfrac{2}{4}\bigr)^n =2\cdot\bigl(\tfrac12\bigr)^n.
É uma série geométrica com razão r=\tfrac12 e \lvert r\rvert<1, logo converge.

Passo 6

Considere a série
\sum \frac{n^n}{2^n}.
Use o teste da raiz n-ésima:
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n^n}{2^n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2} =\infty>1.
Logo a série diverge.

Resposta

  1. convergente
  2. divergente
  3. divergente
  4. convergente
  5. divergente

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