Considerando as soluções fundamentais \theta_{1}(t) e \theta_{2}(t) soluções fundamentais de (1), mostre que a solução geral de (1) pode ser escrita como
\begin{aligned} \theta(t) & =C_{1} e^{i \omega t}+C_{2} e^{-i \omega t} \\\ & =\left(C_{1}+C_{2}\right) \cos \omega t+i\left(C_{1}-C_{2}\right) \sin \omega t \end{aligned}

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
\theta''(t)+\omega^{2}\,\theta(t)=0
cuja teoria nos diz que, se \theta_{1}(t) e \theta_{2}(t) são duas soluções fundamentais independentes, a solução geral é
\theta(t)=C_{1}\,\theta_{1}(t)+C_{2}\,\theta_{2}(t).
Aqui assumimos
\theta_{1}(t)=e^{i\omega t}, \quad \theta_{2}(t)=e^{-i\omega t}.

Passo 2

Pela combinação linear das soluções fundamentais obtemos imediatamente
\theta(t)=C_{1}\,e^{i\omega t}+C_{2}\,e^{-i\omega t}.

Passo 3

Para reescrever em termos de \cos e \sin, usamos a fórmula de Euler:
e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t), \quad e^{-i\omega t}=\cos(\omega t)-i\sin(\omega t).
Substituindo em \theta(t)
\theta(t) =C_{1}\bigl(\cos\omega t+i\sin\omega t\bigr) +C_{2}\bigl(\cos\omega t - i\sin\omega t\bigr) =(C_{1}+C_{2})\cos\omega t +i(C_{1}-C_{2})\sin\omega t.

Resposta

\theta(t)=C_{1}\,e^{i \omega t}+C_{2}\,e^{-i \omega t} =(C_{1}+C_{2})\cos\omega t +i\,(C_{1}-C_{2})\sin\omega t.

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