Demonstre que as funções \theta_{1}(t)=e^{i \omega t} e \theta_{2}(t)=e^{-i \omega t} são soluções fundamentais de (1), ou seja, mostre que W\left[\theta_{1}, \theta_{2}\right](t) \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que as funções
\theta_{1}(t)=e^{i\omega t} e \theta_{2}(t)=e^{-i\omega t}
são uma base de soluções da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
\theta''(t)+\omega^{2}\,\theta(t)=0
isto é, que ambas satisfazem a equação e que o Wronskiano
\;W[\theta_{1},\theta_{2}](t)\neq0.
Para isso vamos: ( 1) verificar que cada \theta_{j} satisfaz a EDO e ( 2) calcular o Wronskiano para checar independência linear.

Passo 2

Verificamos que \theta_{1}(t)=e^{i\omega t} resolve a equação. Calculamos derivadas:
\theta_{1}'(t)=i\omega\,e^{i\omega t}, \quad \theta_{1}''(t)=(i\omega)^{2}e^{i\omega t}=-\omega^{2}e^{i\omega t}.
Substituindo em
\theta''+\omega^{2}\theta=0 obtemos
(-\omega^{2}e^{i\omega t}) + \omega^{2}(e^{i\omega t}) = 0,
logo \theta_{1} é solução. De modo análogo, para \theta_{2}(t)=e^{-i\omega t}:
\theta_{2}'(t)=-i\omega\,e^{-i\omega t}, \quad \theta_{2}''(t)=(-i\omega)^{2}e^{-i\omega t}=-\omega^{2}e^{-i\omega t},
e
(-\omega^{2}e^{-i\omega t}) + \omega^{2}(e^{-i\omega t}) = 0.

Passo 3

Definimos o Wronskiano de duas funções \theta_{1},\theta_{2} por
W(\theta_{1},\theta_{2})(t) = \begin{vmatrix} \theta_{1}(t) & \theta_{2}(t)\\[6pt] \theta_{1}'(t) & \theta_{2}'(t) \end{vmatrix} = \theta_{1}(t)\,\theta_{2}'(t)\;-\;\theta_{2}(t)\,\theta_{1}'(t).]

Passo 4

Substituímos os valores:
\theta_{1}(t)\,\theta_{2}'(t) = e^{i\omega t}\,(-i\omega\,e^{-i\omega t}) = -\,i\omega,
\theta_{2}(t)\,\theta_{1}'(t) = e^{-i\omega t}\,(i\omega\,e^{i\omega t}) = i\omega.
Portanto
W[\theta_{1},\theta_{2}](t) = (-\,i\omega)\;-\;(i\omega) = -\,2\,i\,\omega.

Passo 5

Como \omega é constante não-nula, temos
W[\theta_{1},\theta_{2}](t) = -2\,i\,\omega \neq 0 \quad\forall\,t.
Um Wronskiano não nulo garante independência linear das soluções. Logo \theta_{1} e \theta_{2} formam um conjunto fundamental de soluções da equação.

Resposta

O Wronskiano é
W[\theta_{1},\theta_{2}](t) = -2\,i\,\omega \neq 0,
portanto \theta_{1}(t)=e^{i\omega t} e \theta_{2}(t)=e^{-i\omega t} são soluções fundamentais.

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