Demonstre que as funções \theta_{1}(t)=e^{i \omega t} e \theta_{2}(t)=e^{-i \omega t} são soluções fundamentais de (1), ou seja, mostre que W\left[\theta_{1}, \theta_{2}\right](t) \neq 0.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que as funções \theta_{1}(t)=e^{i\omega t} e \theta_{2}(t)=e^{-i\omega t}
são uma base de soluções da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
\theta''(t)+\omega^{2}\,\theta(t)=0
isto é, que ambas satisfazem a equação e que o Wronskiano \;W[\theta_{1},\theta_{2}](t)\neq0.
Para isso vamos: (1) verificar que cada \theta_{j} satisfaz a EDO e (2) calcular o Wronskiano para checar independência linear.
Passo 2
Verificamos que \theta_{1}(t)=e^{i\omega t} resolve a equação. Calculamos derivadas: