Determine a trajetória a ser descrita: r(t)=4 e^-2 t imath+3 e^-2 t jmath+(25-25 e^-4 t^2) k;

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
vec r(t)=l(x(t),y(t),z(t)r) com
x(t)=4e^-2t, y(t)=3e^-2t, z(t)=25-25e^-4t^2
O objetivo é eliminar o parâmetro t e obter uma relação entre x, y e z.

Passo 2

Das componentes x e y temos
y(t)x(t)=3e^-2t4e^-2t=34,
logo a curva satisfaz
y=34,x

Passo 3

Ainda com x(t)=4e^-2t, isolamos t:
e^-2t=x4 Longrightarrow ln!l(x4r)=-2t Longrightarrow t=-tfrac12ln!l(x4r)

Passo 4

Elevando ao quadrado,
t^2=tfrac14l[ln!l(tfracx4r)r]^2
e portanto
e^-4t^2 =e^-4cdot14[ln(x/4)]^2 =e^-[ln(x/4)]^2

Passo 5

Substituindo em z(t) obtemos
z=25-25,e^-4t^2 =25-25,e^-[ln(x/4)]^2
Juntando com a relação entre x e y, a trajetória em coordenadas cartesianas é dada por
y=34,x, z=25-25,expl(-[ln(x/4)]^2r),
com x>0.

Resposta

A curva descrita é o conjunto dos pontos (x,y,z) que satisfazem
y=34,x, z=25-25,expl(-[ln(x/4)]^2r),
para x>0.

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