Classifique o sistema linear dado e apresente posto e nulidade (grau de liberdade). Se o sistema linear for compatível indeterminado apresente uma das possíveis soluções.
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema de duas equações lineares em quatro incógnitas:
2x1-8x2+24x3+18x4=84, 4x1-14x2+52x3+42x4=190
O objetivo é classificar o sistema (compatível determinado, compatível indeterminado ou impossível), calcular o posto (rank) da matriz de coeficientes e a nulidade (número de graus de liberdade). Para isso, vamos usar eliminação de Gauss e contar linhas independentes.
Passo 2
Montamos a matriz aumentada e aplicamos operações elementares.
Como as duas linhas agora são não nulas e independentes, o posto da matriz de coeficientes é 2. A linha aumentada permaneceu consistente, então o posto da matriz aumentada também é 2.
Passo 3
Temos rank(A)=2 e rank(A|b)=2. Como o número de incógnitas é 4, mas o posto é 2<4, concluímos que o sistema é compatível indeterminado, com nulidade=4-2=2 graus de liberdade.
Passo 4
Para escrever a solução geral, tomamos x3=t e x4=s como parâmetros livres. Da segunda equação reduzida
2x2+4x3+6x4=22
segue
x2=11-2t-3s
Substituindo em qualquer uma das equações originais (por exemplo a primeira) e resolvendo para x1, obtemos