Classifique o sistema linear dado e apresente posto e nulidade (grau de liberdade). Se o sistema linear for compatível indeterminado apresente uma das possíveis soluções.
l2 x1-8 x2+24 x3+18 x4=84 4 x1-14 x2+52 x3+42 x4=190

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de duas equações lineares em quatro incógnitas:
2x1-8x2+24x3+18x4=84, 4x1-14x2+52x3+42x4=190
O objetivo é classificar o sistema (compatível determinado, compatível indeterminado ou impossível), calcular o posto (rank) da matriz de coeficientes e a nulidade (número de graus de liberdade). Para isso, vamos usar eliminação de Gauss e contar linhas independentes.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e aplicamos operações elementares.
[cccc|c 2 & -8 & 24 & 18 & 84 4 & -14 & 52 & 42 & 190 ]
Subtraindo o dobro da primeira linha da segunda, obtemos
[cccc|c 2 & -8 & 24 & 18 & 84 0 & 2 & 4 & 6 & 22 ]
Como as duas linhas agora são não nulas e independentes, o posto da matriz de coeficientes é 2. A linha aumentada permaneceu consistente, então o posto da matriz aumentada também é 2.

Passo 3

Temos rank(A)=2 e rank(A|b)=2. Como o número de incógnitas é 4, mas o posto é 2<4, concluímos que o sistema é compatível indeterminado, com nulidade=4-2=2 graus de liberdade.

Passo 4

Para escrever a solução geral, tomamos x3=t e x4=s como parâmetros livres. Da segunda equação reduzida
2x2+4x3+6x4=22
segue
x2=11-2t-3s
Substituindo em qualquer uma das equações originais (por exemplo a primeira) e resolvendo para x1, obtemos
2x1-8(11-2t-3s)+24t+18s=84 Longrightarrow x1=86-20t-21s
Logo a solução geral é
x1=86-20t-21s, x2=11-2t-3s, x3=t, x4=s, t,sinR
Uma solução particular simples é tomando t=0 e s=0, o que dá
(x1,x2,x3,x4)=(86,,11,,0,,0)

Resposta

Classificação: compatível indeterminado.
Posto: rank(A)=2.
Nulidade (graus de liberdade): 4-2=2.
Uma solução particular: (x1,x2,x3,x4)=(86,,11,,0,,0).

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