Classifique o sistema linear dado e apresente posto e nulidade (grau de liberdade). Se o sistema linear for compatível indeterminado apresente uma das possíveis soluções.
3 x+2 y-5 z= & 8 2 x-4 y-2 z=- & 4, x-2 y-3 z= & 4

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com três incógnitas :
O conteúdo aqui é classificação de sistemas lineares (compatível ou não, determinado ou indeterminado), cálculo de posto da matriz dos coeficientes e nulidade, e, em caso de sistema compatível determinado, encontrar a única solução via eliminação de Gauss.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e aplicamos eliminação de Gauss para triangularizar:
[ccc|c 3 & 2 & -5 & 8 2 & -4 & -2 & -4 1 & -2 & -3 & 4 ]
Usando a primeira linha para eliminar x em baixo, obtemos as equações equivalentes
-4y+z=-7, 2y+z=-1

Passo 3

Resolvendo o sistema de duas equações em y,z:
-4y+z=-7, 2y+z=-1
subtraindo-as temos
(-4y+z)-(2y+z)=-7-(-1) ;Rightarrow;-6y=-6 ;Rightarrow;y=1
Então z satisfaz 2cdot1+z=-1, logo z=-3. Finalmente, de 3x+2y-5z=8 vem
3x+2cdot1-5(-3)=8 ;Rightarrow;3x+2+15=8 ;Rightarrow;3x=-9 ;Rightarrow;x=-3

Passo 4

Como encontramos exatamente uma solução, o posto da matriz de coeficientes é igual a 3 (full rank) e o posto da matriz aumentada também é 3. Com número de variáveis n=3, a nulidade é
n-posto=3-3=0
Logo o sistema é compatível determinado, com grau de liberdade zero.

Resposta

O sistema é compatível determinado.
posto =3.
nulidade =0.
Solução única: (x,y,z)=(-3,,1,,-3).

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