Classifique o sistema linear dado e apresente posto e nulidade (grau de liberdade). Se o sistema linear for compatível indeterminado apresente uma das possíveis soluções.
l2 x1-8 x2+24 x3+18 x4=84 4 x1-14 x2+52 x3+42 x4=190

Passo 1

O enunciado pede para classificar o sistema linear de duas equações em quatro incógnitas, determinar o posto (rank) da matriz de coeficientes e a nulidade (grau de liberdade) e, se for compatível indeterminado, dar uma solução. Vamos usar eliminação de Gauss para achar o posto.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e aplicamos operações elementares:
[cccc|c 2 & -8 & 24 & 18 & 84 4 & -14 & 52 & 42 & 190 ]
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda e em seguida simplificando cada linha por 2, obtemos:
[cccc|c 1 & -4 & 12 & 9 & 42 0 & 1 & 2 & 3 & 11 ]

Passo 3

A partir da matriz escalonada vemos dois pivôs (nas colunas 1 e 2), então o posto da matriz de coeficientes é 2. Como o vetor de termos independentes não cria conflito (o posto da matriz aumentada também é 2), o sistema é compatível indeterminado.
O número de incógnitas é 4 e o posto é 2, logo a nulidade (grau de liberdade) é 4 - 2 = 2. Podemos tomar x3=t e x4=s como parâmetros livres.

Passo 4

Resolvendo para x1 e x2 em função de t e s:
x2 + 2x3 + 3x4 = 11 Rightarrow x2 = 11 - 2t - 3s,
x1 -4x2 +12x3 +9x4 = 42Rightarrow x1 = 42 +4x2 -12t -9s
Substituindo x2:
x1 = 42 +4(11 -2t -3s) -12t -9s = 86 -20t -21s

Passo 5

Uma solução particular fácil de ver é tomando t=0 e s=0, isto é:
(x1,x2,x3,x4) = (86,,11,,0,,0)

Resposta

Classificação: compatível indeterminado; posto = 2; nulidade = 2; solução de exemplo: (x₁,x₂,x₃,x₄) = (86,11,0,0).

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