Classifique o sistema linear dado e apresente posto e nulidade (grau de liberdade). Se o sistema linear for compatível indeterminado apresente uma das possíveis soluções.
Passo 1
O enunciado pede para classificar o sistema linear de duas equações em quatro incógnitas, determinar o posto (rank) da matriz de coeficientes e a nulidade (grau de liberdade) e, se for compatível indeterminado, dar uma solução. Vamos usar eliminação de Gauss para achar o posto.
Passo 2
Escrevemos a matriz aumentada e aplicamos operações elementares:
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda e em seguida simplificando cada linha por 2, obtemos:
Passo 3
A partir da matriz escalonada vemos dois pivôs (nas colunas 1 e 2), então o posto da matriz de coeficientes é 2. Como o vetor de termos independentes não cria conflito (o posto da matriz aumentada também é 2), o sistema é compatível indeterminado.
O número de incógnitas é 4 e o posto é 2, logo a nulidade (grau de liberdade) é 4 - 2 = 2. Podemos tomar e
como parâmetros livres.
O número de incógnitas é 4 e o posto é 2, logo a nulidade (grau de liberdade) é 4 - 2 = 2. Podemos tomar
Passo 4
Resolvendo para
e
em função de
e
:
Substituindo
:
Passo 5
Uma solução particular fácil de ver é tomando
e
, isto é:
Resposta
Classificação: compatível indeterminado; posto = 2; nulidade = 2; solução de exemplo: (x₁,x₂,x₃,x₄) = (86,11,0,0).