O conjunto U=R^3 é isomorfo ao conjunto ?

Passo 1

O exercício pergunta se o espaço vetorial U= R^3 é isomorfo ao espaço V= A in M2(R) mid A^t = A. O conteúdo envolve definição de espaços vetoriais, isomorfismo e dimensão. Vamos checar se existe uma aplicação linear bijetora de U em V.

Passo 2

A dimensão de U é simples: U= R^3, logo dim(U)=3. Isso vem da definição de dimensão como o número de componentes de um vetor em R^n.

Passo 3

Para encontrar dim(V), note que qualquer matriz simétrica Ain V pode ser escrita como
A=a & b b & c,
o que mostra que os parâmetros livres são a,b,c. Logo dim(V)=3.

Passo 4

Como dim(U)=dim(V)=3 e ambos são de dimensão finita, basta encontrar uma aplicação linear injetora para garantir o isomorfismo. Definimos
fcolon R^3 to V, f(x,y,z)=x & y y & z
É claro que f é linear, pois preserva soma e multiplicação por escalar.

Passo 5

Para ver que f é injetora, observe que se f(x,y,z) é a matriz nula, então x=0, y=0 e z=0. Como dim(U)=dim(V), a injetividade implica sobrejetividade. Portanto f é bijetora.

Passo 6

Como encontramos uma aplicação linear bijetora entre U e V, concluímos que são isomorfos.

Resposta

Sim, U e V são isomorfos. Um isomorfismo é dado por
f(x,y,z)=x & y y & z

Exercícios relacionados