O exercício pergunta se o espaço vetorial U= é isomorfo ao espaço V=. O conteúdo envolve definição de espaços vetoriais, isomorfismo e dimensão. Vamos checar se existe uma aplicação linear bijetora de U em V.
Passo 2
A dimensão de U é simples: U=, logo . Isso vem da definição de dimensão como o número de componentes de um vetor em .
Passo 3
Para encontrar , note que qualquer matriz simétrica pode ser escrita como
o que mostra que os parâmetros livres são a,b,c. Logo dim(V)=3.
Passo 4
Como dim(U)=dim(V)=3 e ambos são de dimensão finita, basta encontrar uma aplicação linear injetora para garantir o isomorfismo. Definimos
fcolon R^3 to V, f(x,y,z)=x & y y & z
É claro que f é linear, pois preserva soma e multiplicação por escalar.
Passo 5
Para ver que f é injetora, observe que se f(x,y,z) é a matriz nula, então x=0, y=0 e z=0. Como dim(U)=dim(V), a injetividade implica sobrejetividade. Portanto f é bijetora.
Passo 6
Como encontramos uma aplicação linear bijetora entre U e V, concluímos que são isomorfos.
Resposta
Sim, U e V são isomorfos. Um isomorfismo é dado por