Mostre que as transformações lineares de
e
têm os mesmos núcleo e imagem.
Passo 1
Enunciado: temos duas transformações lineares de
em
, definidas por
e
. O conteúdo aqui é núcleo (
) e imagem (
) de transformações lineares; vamos usar as definições para calcular cada um.
Passo 2
Por definição,
. Como
, igualar a zero impõe
e
. Logo (\ker(T_1)={(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}}=\mathrm{span}{(1,0,0)}.
Passo 3
A imagem de
é
. Como
, qualquer vetor da forma
aparece, logo (\operatorname{Im}(T_1)={(0,y,z)\mid y,z\in\mathbb{R}}=\mathrm{span}{(0,1,0),(0,0,1)}.
Passo 4
Para
,
. Igualando
obtemos o sistema
e
. Daí
e
, então (\ker(T_2)={(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}}=\mathrm{span}{(1,0,0)}.
Passo 5
Para a imagem de
,
. Dado um vetor qualquer
, basta resolver
e
: obtemos
e
. Assim todo
aparece na imagem e (\operatorname{Im}(T_2)={(0,a,b)\mid a,b\in\mathbb{R}}=\mathrm{span}{(0,1,0),(0,0,1)}.
Resposta
Os núcleos coincidem:
, e as imagens coincidem:
.