Mostre que as transformações lineares de R^3 em R^3, T1(x, y, z)=(0, y, z) e T2(x, y, z)=(0, z+y, z+2 y) têm os mesmos núcleo e imagem.

Passo 1

Enunciado: temos duas transformações lineares de R^3 em R^3, definidas por T1(x,y,z)=(0,y,z) e T2(x,y,z)=(0,y+z,z+2y). O conteúdo aqui é núcleo ( ker) e imagem ( Im) de transformações lineares; vamos usar as definições para calcular cada um.

Passo 2

Por definição, ker(T1)=(x,y,z)inR^3mid T1(x,y,z)=(0,0,0). Como T1(x,y,z)=(0,y,z), igualar a zero impõe y=0 e z=0. Logo (\ker(T_1)={(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}}=\mathrm{span}{(1,0,0)}.

Passo 3

A imagem de T1 é Im(T1)=T1(x,y,z)mid(x,y,z)inR^3. Como T1(x,y,z)=(0,y,z), qualquer vetor da forma (0,y,z) aparece, logo (\operatorname{Im}(T_1)={(0,y,z)\mid y,z\in\mathbb{R}}=\mathrm{span}{(0,1,0),(0,0,1)}.

Passo 4

Para T2, ker(T2)=(x,y,z)mid T2(x,y,z)=(0,0,0). Igualando (0,y+z,z+2y)=(0,0,0) obtemos o sistema y+z=0 e z+2y=0. Daí y=0 e z=0, então (\ker(T_2)={(x,0,0)\mid x\in\mathbb{R}}=\mathrm{span}{(1,0,0)}.

Passo 5

Para a imagem de T2, Im(T2)=(0,y+z,z+2y)mid y,zinR. Dado um vetor qualquer (0,a,b), basta resolver a=y+z e b=z+2y: obtemos y=b-a e z=2a-b. Assim todo (0,a,b) aparece na imagem e (\operatorname{Im}(T_2)={(0,a,b)\mid a,b\in\mathbb{R}}=\mathrm{span}{(0,1,0),(0,0,1)}.

Resposta

Os núcleos coincidem: ker(T1)=ker(T2)=span(1,0,0), e as imagens coincidem: Im(T1)=Im(T2)=span(0,1,0),(0,0,1).

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