Considere o subconjunto de P3 dado por W=[S]. Encontre uma base para o espaço W. Qual a dimensão de W=2 ? Resposta: dimensão de .

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar uma base e a dimensão do subespaço Wsubseteq P3 gerado pelo conjunto S=t^3+t^2-2t+1,;t^2+1,;t^3-2t,;2t^3+3t^2-4t+3. O conteúdo envolvido é verificar independência linear e encontrar o rank via representação matricial.

Passo 2

Pra testar independência linear, a gente mapeia cada polinômio na base padrão t^3,t^2,t,1 para um vetor em R^4:
1 & 1 & -2 & 1 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & -2 & 0 2 & 3 & -4 & 3
dois pontos: cada linha é um polinômio de S.

Passo 3

Agora a gente faz escalonamento por linhas (Gauss) pra ver quantas linhas independentes restam:
  1. Subtraindo R1 de R3 dá R3←R3−R1= [0,-1,0,-1].
  2. Subtraindo 2·R1 de R4 dá R4←R4−2R1= [0,1,0,1].
  3. Soma R2 em R3 dá R3←R3+R2= [0,0,0,0].
  4. Subtraindo R2 de R4 dá R4←R4−R2= [0,0,0,0].
    Ficamos só com duas linhas não-nulas → rank = 2.

Passo 4

Isso mostra que só dois polinômios de S são independentes, e os outros podem ser escritos como combinação linear. Os pivôs aparecem nas primeiras duas linhas, que correspondem aos polinômios:
p1=t^3+t^2-2t+1 e p2=t^2+1.
Logo, t^3+t^2-2t+1,;t^2+1 forma uma base de W, e o número de vetores na base (a dimensão) é 2.

Resposta

Uma base para W é t^3+t^2-2t+1,,t^2+1 e dim W=2.

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