Considere o subconjunto de dado por . Encontre uma base para o espaço . Qual a dimensão de ? Resposta: dimensão de .
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar uma base e a dimensão do subespaço gerado pelo conjunto . O conteúdo envolvido é verificar independência linear e encontrar o rank via representação matricial.
Passo 2
Pra testar independência linear, a gente mapeia cada polinômio na base padrão para um vetor em :
dois pontos: cada linha é um polinômio de S.
Passo 3
Agora a gente faz escalonamento por linhas (Gauss) pra ver quantas linhas independentes restam:
Subtraindo R1 de R3 dá R3←R3−R1=[0,-1,0,-1].
Subtraindo 2·R1 de R4 dá R4←R4−2R1=[0,1,0,1].
Soma R2 em R3 dá R3←R3+R2=[0,0,0,0].
Subtraindo R2 de R4 dá R4←R4−R2=[0,0,0,0].
Ficamos só com duas linhas não-nulas → rank = 2.
Passo 4
Isso mostra que só dois polinômios de S são independentes, e os outros podem ser escritos como combinação linear. Os pivôs aparecem nas primeiras duas linhas, que correspondem aos polinômios: p1=t^3+t^2-2t+1 e p2=t^2+1.
Logo, t^3+t^2-2t+1,;t^2+1 forma uma base de W, e o número de vetores na base (a dimensão) é 2.