Classifique o sistema linear dado e apresente posto e nulidade (grau de liberdade). Se o sistema linear for compatível indeterminado apresente uma das possíveis soluções.
x-y & = & 0 x+2 y+4 z & = & 6 x+4 z & = & 6

Passo 1

O exercício pede para classificar o sistema linear, calcular posto e nulidade e, se for compatível indeterminado, dar uma solução. O conteúdo envolve escalonamento de matrizes para descobrir o posto (rank) do sistema e, a partir daí, determinar compatibilidade e grau de liberdade.

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada do sistema e aplicar operações elementares. A matriz fica:
[ccc|c 1 & -1 & 0 & 0 1 & 2 & 4 & 6 1 & 0 & 4 & 6 ]
Agora fazemos R₂←R₂−R₁ e R₃←R₃−R₁, obtendo
[ccc|c 1 & -1 & 0 & 0 0 & 3 & 4 & 6 0 & 1 & 4 & 6 ]

Passo 3

Para isolar pivôs, trocamos R₂ com R₃ e depois aplicamos R₃←R₃−3·R₂. Isso dá:
[ccc|c 1 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & 4 & 6 0 & 0 & -8 & -12 ]
Agora já temos forma triangular, com pivôs em todas as colunas de coeficientes.

Passo 4

Da matriz escalonada, vemos que há pivô em cada uma das 3 colunas de coeficientes, ou seja, posto(A)=3. Como o pivô também aparece na coluna de termos independentes, rank(A|b)=3. Logo posto=rank(A)=rank(A|b)=3. Como há 3 variáveis, a nulidade (grau de liberdade) é 3−3=0, indicando que o sistema é compatível determinado.

Passo 5

Para encontrar a solução, fazemos substituição regressiva:
Da última linha: -8z=-12 implica z=3/2.
Da segunda linha: y+4z=6 leva a y=6−4·(3/2)=0.
Da primeira linha: x−y=0 x=0.
Portanto, a única solução é (x,y,z)=(0,0,3/2).

Resposta

O sistema é compatível determinado, com posto = 3 e nulidade = 0. A solução única é (x,y,z)=(0,0,3/2).

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