Classifique o sistema linear dado e apresente posto e nulidade (grau de liberdade). Se o sistema linear for compatível indeterminado apresente uma das possíveis soluções.
Passo 1
O exercício pede para classificar o sistema linear, calcular posto e nulidade e, se for compatível indeterminado, dar uma solução. O conteúdo envolve escalonamento de matrizes para descobrir o posto (rank) do sistema e, a partir daí, determinar compatibilidade e grau de liberdade.
Passo 2
Vamos montar a matriz aumentada do sistema e aplicar operações elementares. A matriz fica:
Agora já temos forma triangular, com pivôs em todas as colunas de coeficientes.
Passo 4
Da matriz escalonada, vemos que há pivô em cada uma das 3 colunas de coeficientes, ou seja, posto(A)=3. Como o pivô também aparece na coluna de termos independentes, rank(A|b)=3. Logo posto=rank(A)=rank(A|b)=3. Como há 3 variáveis, a nulidade (grau de liberdade) é 3−3=0, indicando que o sistema é compatível determinado.
Passo 5
Para encontrar a solução, fazemos substituição regressiva:
Da última linha: -8z=-12 implica z=3/2.
Da segunda linha: y+4z=6 leva a y=6−4·(3/2)=0.
Da primeira linha: x−y=0 dá x=0.
Portanto, a única solução é (x,y,z)=(0,0,3/2).
Resposta
O sistema é compatível determinado, com posto = 3 e nulidade = 0. A solução única é (x,y,z)=(0,0,3/2).