Dado
operadores lineares num espaço
-dimensional sobre um corpo de característica zero. Assuma que
eque
. Prove que os autovalores de
são da forma
para algum
.
Passo 1
A questão dá dois operadores lineares
e
em um espaço de dimensão
sobre um corpo de característica zero, com as hipóteses
• (ou seja,
é nilpotente de índice exato
),
• ,
• e o comutador satisfaz .
Queremos mostrar que os autovalores de são
para algum
. Precisa usar teoria de comutadores e a cadeia de Jordan de
.
•
•
• e o comutador satisfaz
Queremos mostrar que os autovalores de
Passo 2
Escolhemos um vetor
em
. Como
, aplicando o comutador em
temos
outro modo de ver:
, logo
. Isso mostra que
é autovetor de
. Definimos
.
Passo 3
Precisamos agora entender o efeito de
em
. Primeiro mostramos por indução em
que
Caso base
é a hipótese
. Supondo
, então
Passo 4
Agora aplicamos isso a
:
Portanto cada
(para
) é autovetor de
com autovalor
.
Passo 5
Como
são linearmente independentes (cadeia de comprimento
) temos
autovetores independentes de
, logo seus autovalores são exatamente
ou, redefinindo , a sequência
,
como desejado.
ou, redefinindo
como desejado.
Resposta
Os autovalores de G são da forma
para algum