Dado T, G operadores lineares num espaço n-dimensional sobre um corpo de característica zero. Assuma que T^n=0, dim ker T=1 eque G T-T G=T. Prove que os autovalores de G são da forma alpha, alpha-1, alpha-2, ldots, alpha-(n-1) para algum alpha in K.

Passo 1

A questão dá dois operadores lineares T e G em um espaço de dimensão n sobre um corpo de característica zero, com as hipóteses
T^n=0 (ou seja, T é nilpotente de índice exato n),
dimker T=1,
• e o comutador satisfaz [G,T]=GT-TG=T.
Queremos mostrar que os autovalores de G são alpha,alpha-1,ldots,alpha-(n-1) para algum alphainBbb K. Precisa usar teoria de comutadores e a cadeia de Jordan de T.

Passo 2

Escolhemos um vetor vneq0 em ker T. Como T v=0, aplicando o comutador em v temos
T(Gv)=G(Tv)-T v=0-0=0
outro modo de ver: T(Gv)=0, logo Gvinker T=spanv. Isso mostra que v é autovetor de G. Definimos Gv=alpha v.

Passo 3

Precisamos agora entender o efeito de G em T^k v. Primeiro mostramos por indução em k que
[G,T^k]=k,T^k
Caso base k=1 é a hipótese [G,T]=T. Supondo [G,T^k]=kT^k, então
[G,T^k+1]=G T^kT-T^k+1G=[G,T^k]T+T^k[G,T]=kT^kT+T^kT=(k+1)T^k+1

Passo 4

Agora aplicamos isso a T^k v:
G(T^k v)=T^k(Gv)+k,T^k v=alpha,T^k v+k,T^k v=(alpha+k),T^k v
Portanto cada T^k v (para k=0,1,dots,n-1) é autovetor de G com autovalor alpha+k.

Passo 5

Como T^0v, T^1v,dots,T^n-1v são linearmente independentes (cadeia de comprimento n) temos n autovetores independentes de G, logo seus autovalores são exatamente
alpha' = alpha+(n-1)
ou, redefinindo , a sequência
,
como desejado.

Resposta

Os autovalores de G são da forma alpha,alpha-1,ldots,alpha-(n-1) para algum alphainK

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