7 Estabelecer a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes x, y e z para que o sistema abaixo seja compatível.
cl a1+2 a2 & =x -3 a1+4 a2 & =y 2 a1-a2 & =z

Passo 1

O sistema dado é de duas incógnitas a1 e a2 com três equações, ou seja, queremos a condição para que o vetor de termos independentes (x,y,z) esteja no espaço gerado pelas colunas da matriz dos coeficientes. O conteúdo é compatibilidade de sistemas lineares e vamos precisar usar resolução das primeiras duas equações e impor a terceira.

Passo 2

Resolvendo as duas primeiras equações em função de x e y:
a1 + 2a2 = x -3a1 + 4a2 = y
Multiplicando a primeira por 3 e somando à segunda, obtemos
10a2 = 3x + y Longrightarrow a2 = 3x+y10
Substituindo em a1 + 2a2 = x, temos
a1 = x - 2a2 = x - 6x+2y10 = 2x - y5

Passo 3

Agora impomos que esses a1 e a2 também satisfaçam a terceira equação 2a1 - a2 = z. Substituindo:
2cdot2x - y5 - 3x+y10 = z
Calculando o lado esquerdo:
4x-2y5 - 3x+y10 = 8x-4y - (3x+y)10 = 5x-5y10 = x-y2
Logo, a condição de compatibilidade é
z = x - y2

Resposta

A condição é z = x - y2, ou equivalente x - y - 2z = 0.

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