Seja T: K^n K^n um operador com polinômio característico pT(x)=(x-lambda)^n. Mostre que o operador T^prime=lambda Id -T é nilpotente.

Passo 1

O enunciado diz que temos um operador linear T: K^n to K^n cujo polinômio característico é pT(x)=(x-lambda)^n. Queremos provar que o operador T'=lambda,Id-T é nilpotente, ou seja, que existe um inteiro m tal que (T')^m=0. Para isso, vamos usar o Teorema de Cayley–Hamilton e a definição de operador nilpotente.

Passo 2

Antes de mais nada, lembrar a definição: um operador N é nilpotente se existir minN tal que N^m=0. E o Teorema de Cayley–Hamilton garante que todo operador satisfaz seu próprio polinômio característico.

Passo 3

Pelo Teorema de Cayley–Hamilton, substituindo T em pT(x) obtemos
pT(T)=(T-lambda,Id)^n=0

Passo 4

Observe que
T' = lambda,Id - T = -l(T - lambda,Idr)

Passo 5

Então basta tirar a potência n:
(T')^n = l(-1r)^n,(T-lambda,Id)^n = (-1)^ncdot0 = 0

Passo 6

Portanto, (T')^n=0 e isso mostra que T' é nilpotente.

Resposta

T' = lambda,Id - T é nilpotente porque, por Cayley–Hamilton, (T-lambda,Id)^n=0 e logo (T')^n=(-1)^n(T-lambda,Id)^n=0.

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