Seja
um operador com polinômio característico
. Mostre que o operador
Id
é nilpotente.
Passo 1
O enunciado diz que temos um operador linear
cujo polinômio característico é
. Queremos provar que o operador
é nilpotente, ou seja, que existe um inteiro
tal que
. Para isso, vamos usar o Teorema de Cayley–Hamilton e a definição de operador nilpotente.
Passo 2
Antes de mais nada, lembrar a definição: um operador
é nilpotente se existir
tal que
. E o Teorema de Cayley–Hamilton garante que todo operador satisfaz seu próprio polinômio característico.
Passo 3
Pelo Teorema de Cayley–Hamilton, substituindo
em
obtemos
Passo 4
Observe que
Passo 5
Então basta tirar a potência
:
Passo 6
Portanto,
e isso mostra que
é nilpotente.