Classifique o sistema quanto a quantidade de soluções (incompatível e determinado ou compatível e indeterminado). Caso o sistema possua soluções, determine seu conjunto solução:
\left\{\begin{array}{l} x+y-2 z=1 \\\\ 2 x-y+z=-1 \\\\ -x-4 y+5 z=2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear com três equações e três incógnitas:
\begin{cases} x+y-2z=1,\\\\ 2x-y+z=-1,\\\\ -x-4y+5z=2. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares por eliminação de Gauss.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos x das linhas 2 e 3 usando
R_2\leftarrow R_2-2R_1,\quad R_3\leftarrow R_3+R_1.
Isso leva a
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & \mid & 1\\\\ 0 & -3 & 5 & \mid & -3\\\\ 0 & -3 & 3 & \mid & 3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora eliminamos o coeficiente de y na terceira linha com
R_3\leftarrow R_3-R_2,
obtendo a forma triangular
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & \mid & 1\\\\ 0 & -3 & 5 & \mid & -3\\\\ 0 & 0 & -2 & \mid & 6 \end{pmatrix}.

Passo 4

Fazemos substituição regressiva:
Da terceira equação -2z=6 segue
z=-3.
Na segunda -3y+5z=-3 substituindo z=-3 obtemos
-3y-15=-3\quad\Longrightarrow\quad y=-4.
Na primeira x+y-2z=1 com y=-4 e z=-3 resulta
x-4+6=1\quad\Longrightarrow\quad x=-1.

Passo 5

Como há uma única solução, o sistema é compatível e determinado. O conjunto solução é
S=\{(-1,-4,-3)\}.

Resposta

Compatível e determinado;
S=\{(-1,-4,-3)\}.

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