(Questão 02 ) [ 2,0 pontos] Faça a identificação entre as quádricas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada quádrica.
a) 2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}=1
( )Esfera
b) 2 x^{2}+2 y^{2}-2 z^{2}=1
( )Hiperbolóide de 1 folha
c) x^{2}+y^{2}+z=0
( )Parabolóide Elíptico
d) -x^{2}+y^{2}-z=0
( )Parabolóide Hiperbólico

Passo 1

O enunciado pede que a gente associe cada equação a um tipo de quádricas: esfera, hiperboloide de uma folha, parabolóide elíptico e parabolóide hiperbólico. Para isso, vamos lembrar as formas canônicas:
1. Esfera: todos os termos quadráticos têm o mesmo coeficiente e sinal.
2. Hiperboloide de uma folha: dois termos quadráticos com o mesmo sinal e um termo com sinal oposto, igualados a 1.
3. Parabolóide elíptico: soma de dois quadrados igual a termo linear em z.
4. Parabolóide hiperbólico: diferença de dois quadrados igual a termo linear em z.

Passo 2

Analisando a equação
2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}=1,
vemos que os três termos quadráticos têm coeficiente igual e sinal positivo. Isso corresponde exatamente à forma de uma esfera.

Passo 3

Analisando
2x^{2}+2y^{2}-2z^{2}=1,
temos dois termos positivos e um negativo, todos igualados a 1. Essa é a forma típica do hiperboloide de uma folha.

Passo 4

Para
x^{2}+y^{2}+z=0
podemos rearranjar como
z = -\,\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr),
que é soma de dois quadrados (com sinal negativo) igual a z. Isso é um parabolóide elíptico (abre para baixo no eixo z).

Passo 5

Finalmente,
-\,x^{2}+y^{2}-z=0
vira
z = y^{2}-x^{2},
ou seja, diferença de dois quadrados igual a z. Isso caracteriza o parabolóide hiperbólico (sela).

Resposta

(a) Esfera
(b) Hiperbolóide de 1 folha
(c) Parabolóide Elíptico
(d) Parabolóide Hiperbólico

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