QUESTAO 2 (2 pontos) - Use a expansäo por cofatores para calcular o determinante da matriz A abaixo.
\left|\begin{array}{ccccc} 3 & 4 & 4 & -3 & 2 \\\\ 0 & -3 & -4 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 3 & -3 & -4 \\\\ 0 & 0 & -1 & 5 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 4 & -3 & 2 \\\\ 0 & -3 & -4 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 3 & -3 & -4 \\\\ 0 & 0 & -1 & 5 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
usando expansão por cofatores. Vamos lembrar que, para qualquer matriz, podemos expandir ao longo de uma linha ou coluna para reduzir a dimensão do problema.

Passo 2

Escolhemos a quinta linha, pois só tem um elemento não nulo, a_{55}=-1. A expansão por cofatores ao longo da linha 5 dá
\det(A) =\sum_{j=1}^{5}(-1)^{5+j}a_{5j}\,M_{5j} =(-1)^{5+5}a_{55}\,M_{55} =a_{55}\,M_{55},
ou seja
\det(A) = (-1)\,\det\!\begin{pmatrix} 3 & 4 & 4 & -3 \\\\ 0 & -3 & -4 & 1 \\\\ 0 & 0 & 3 & -3 \\\\ 0 & 0 & -1 & 5 \end{pmatrix}.

Passo 3

Denote
D = \det\begin{pmatrix} 3 & 4 & 4 & -3 \\\\ 0 & -3 & -4 & 1 \\\\ 0 & 0 & 3 & -3 \\\\ 0 & 0 & -1 & 5 \end{pmatrix}.
Para calcular D, expandimos por cofatores ao longo da primeira coluna (só o elemento 3 é não nulo nessa coluna):
D = 3 \cdot (-1)^{1+1}\,\det\begin{pmatrix} -3 & -4 & 1 \\\\ 0 & 3 & -3 \\\\ 0 & -1 & 5 \end{pmatrix} =3 \det(B),
onde
B = \begin{pmatrix} -3 & -4 & 1 \\\\ 0 & 3 & -3 \\\\ 0 & -1 & 5 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora calculamos \det(B) por expansão na primeira linha de B:
\det(B) = (-3)\cdot(-1)^{1+1} \det\begin{pmatrix} 3 & -3\\\\ -1 & 5 \end{pmatrix} \;+\;(-4)\cdot(-1)^{1+2} \det\begin{pmatrix} 0 & -3\\\\ 0 & 5 \end{pmatrix} \;+\;1\cdot(-1)^{1+3} \det\begin{pmatrix} 0 & 3\\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
Calculando cada menor:
\det\begin{pmatrix} 3 & -3\\\\ -1 & 5 \end{pmatrix} =3\cdot5 - (-3)\cdot(-1)=15-3=12,
\det\begin{pmatrix} 0 & -3\\\\ 0 & 5 \end{pmatrix}=0, \quad \det\begin{pmatrix} 0 & 3\\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}=0.
Logo
\det(B)=(-3)\cdot12 + (-4)\cdot(-1)\cdot0 + 1\cdot1\cdot0 = -36.

Passo 5

Retornando a D, temos
D = 3 \det(B) = 3 \cdot (-36) = -108.
Então o determinante original é
\det(A) = (-1)\,D = -1 \cdot(-108) = 108.

Resposta

108

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