QUESTÃO 2 (2 pontos) - Use a expansão por cofatores para calcular o determinante da matriz A abaixe.
\left|\begin{array}{ccccc} 3 & 4 & 4 & -3 & 2 \\\\ 0 & -3 & -4 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 3 & -3 & -4 \\\\ 0 & 0 & 1 & 5 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 5\times5 usando expansão por cofatores. Como na primeira coluna de A a_{11}=3 é não nulo, vamos expandir ao longo dessa coluna para simplificar o cálculo.

Passo 2

Pela expansão por cofatores ao longo da coluna 1 temos
\det(A) = a_{11}\,(-1)^{1+1}\det(B) =3\det(B),
onde B é a matriz 4\times4 obtida eliminando a linha 1 e a coluna 1 de A.

Passo 3

A matriz B é
B=\begin{pmatrix} -3 & -4 & 1 & 3\\\\ 0 & 3 & -3 & -4\\\\ 0 & 1 & 5 & 4\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Na coluna 1 de B b_{11}=-3 é não nulo, então
\det(B) = b_{11}\,(-1)^{1+1}\det\text{(C)} = -3\det\text{(C)},
em que C é o menor 3\times3 de B sem linha 1 e coluna 1.

Passo 4

O menor C é
C=\begin{pmatrix} 3 & -3 & -4\\\\ 1 & 5 & 4\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Expandindo por cofatores pela terceira linha (dois zeros) obtemos
\det\text{(C)} = c_{33}\,(-1)^{3+3} \det\begin{pmatrix}3 & -3\\\ 1 & 5\end{pmatrix} = -1 \cdot 1 \cdot (3\cdot5 - (-3)\cdot1) = -1\cdot(15+3) = -18.

Passo 5

Reunindo os resultados:
\det(B) = -3\cdot(-18)=54,
\det(A) = 3\cdot54 = 162.

Resposta

162

Exercícios relacionados