Resolva o sistema pelo método de Gauss-Jordan:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=6 \\\\ 2 x-y+z=3 \\\ x+2 y+3 z=14 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três equações lineares e pede para resolvê‑lo (achar x, y e z):
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=6 \\\\ 2x-y+z=3 \\\ x+2y+3z=14 \end{array}\right.
Informações relevantes:
\begin{aligned} &\text{Equação 1: } x+y+z=6,\\\ &\text{Equação 2: } 2x-y+z=3,\\\ &\text{Equação 3: } x+2y+3z=14. \end{aligned}çãçãçã
O objetivo é transformar esse sistema até obter os valores de x, y e z.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever a matriz aumentada do sistema (coeficientes à esquerda e termos independentes à direita). Peguei os coeficientes das equações acima:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 1 & 2 & 3 & 14 \end{array}\right]
Explicação rápida das operações permitidas (o que vou usar): pode-se
  1. trocar duas linhas,
  2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo,
  3. somar a uma linha um múltiplo escalar de outra.
    O objetivo do método é reduzir a matriz aumentada até que a parte esquerda vire a matriz identidade 3\times3, o que entrega diretamente x, y, z.]

Passo 3

Escolho como primeiro pivô o elemento na posição (1,1), que já é 1. Vou zerar os elementos abaixo desse pivô (coluna 1) usando combinações lineares:
  • Atualizo R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1. Em cálculo coordenada a coordenada: \begin{aligned} 2-2\cdot1&=0,\\\\ -1-2\cdot1&=-3,\\\\ 1-2\cdot1&=-1,\\\\ 3-2\cdot6&=-9. \end{aligned}
  • Atualizo R_3 \leftarrow R_3 - R_1. Em cálculo: \begin{aligned} 1-1&=0,\\\\ 2-1&=1,\\\\ 3-1&=2,\\\\ 14-6&=8. \end{aligned}
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & -3 & -1 & -9\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 8 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora foco na segunda coluna. Para facilitar eliminações futuras, transformo o elemento de R_2 na coluna 2 em 1. Faço R_2 \leftarrow \dfrac{1}{-3}R_2, ou seja R_2 dividido por -3. Cálculo:
\begin{aligned} 0/(-3)&=0,\\\\ -3/(-3)&=1,\\\\ -1/(-3)&=\tfrac{1}{3},\\\\ -9/(-3)&=3. \end{aligned}
A matriz passa a ser:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{3} & 3\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 8 \end{array}\right]]

Passo 5

Com um 1 na posição (2,2) (pivô da segunda coluna), vou zerar os outros elementos da coluna 2:
  • Atualizo R_1 \leftarrow R_1 - R_2. Cálculo: \begin{aligned} 1-0&=1,\\\\ 1-1&=0,\\\\ 1-\tfrac{1}{3}&=\tfrac{2}{3},\\\\ 6-3&=3. \end{aligned}
  • Atualizo R_3 \leftarrow R_3 - R_2. Cálculo: \begin{aligned} 0-0&=0,\\\\ 1-1&=0,\\\\ 2-\tfrac{1}{3}&=\tfrac{5}{3},\\\\ 8-3&=5. \end{aligned}
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{2}{3} & 3\\[6pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{3} & 3\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{5}{3} & 5 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora restou só a terceira coluna com um pivô \tfrac{5}{3} em R_3. Faço R_3 \leftarrow \dfrac{3}{5}R_3 para tornar esse pivô igual a 1. Cálculo:
\begin{aligned} 0\cdot\dfrac{3}{5}&=0,\\\\ 0\cdot\dfrac{3}{5}&=0,\\\ \tfrac{5}{3}\cdot\dfrac{3}{5}&=1,\\\\ 5\cdot\dfrac{3}{5}&=3. \end{aligned}
A matriz torna-se:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{2}{3} & 3\\[6pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{3} & 3\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]]

Passo 7

Com o pivot em R_3 igual a 1, agora zeramos os elementos acima na coluna 3 para obter a forma reduzida por linhas:
  • Atualizo R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{2}{3}R_3. Cálculo: \begin{aligned} 1- \tfrac{2}{3}\cdot 0 &=1,\\\\ 0- \tfrac{2}{3}\cdot 0 &=0,\\\ \tfrac{2}{3}- \tfrac{2}{3}\cdot 1 &=0,\\\\ 3- \tfrac{2}{3}\cdot 3 &=3-2=1. \end{aligned}
  • Atualizo R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{1}{3}R_3. Cálculo: \begin{aligned} 0- \tfrac{1}{3}\cdot 0 &=0,\\\\ 1- \tfrac{1}{3}\cdot 0 &=1,\\\ \tfrac{1}{3}- \tfrac{1}{3}\cdot 1 &=0,\\\\ 3- \tfrac{1}{3}\cdot 3 &=3-1=2. \end{aligned}
A matriz final reduzida é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1\\[6pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]]

Passo 8

Leitura direta da matriz reduzida: cada linha corresponde a uma equação simples:
\begin{aligned} &x=1,\\\ &y=2,\\\ &z=3. \end{aligned}
É sempre bom verificar mentalmente substituindo esses valores nas equações originais (por exemplo 1+2+3=6, 2\cdot1-2+3=3, 1+2\cdot2+3\cdot3=14), e todas conferem.

Resposta

x=1
y=2
z=3

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