Classifique os sistemas contínuos representados pelas equações abaixo em: linear/ não linear; variante/invariante; concentrado/distribuído.
(
e
constantes;
é a função degrau)
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema contínuo de primeira ordem descrito pela equação
com
constantes e
a função degrau.
O que precisamos fazer é classificar esse sistema em:
– linear ou não linear;
– variante ou invariante no tempo;
– concentrado (lumped) ou distribuído (distributed).
O que precisamos fazer é classificar esse sistema em:
– linear ou não linear;
– variante ou invariante no tempo;
– concentrado (lumped) ou distribuído (distributed).
Passo 2
Para ver se é linear, lembramos que um sistema é linear se satisfizer superposição e homogeneidade:
– superposição: ,
– homogeneidade: .
Definindo o operador
– superposição:
– homogeneidade:
Definindo o operador
vê-se que tanto a derivada quanto a multiplicação por constantes obedecem essas propriedades, e o termo de entrada
aparece de forma aditiva e proporcional. Logo, o sistema é linear.
Passo 3
Um sistema é invariante no tempo se, ao atrasar a entrada em
, a saída também atrasa em
sem alterar a sua forma. Aqui todos os coeficientes
,
e
são constantes e não há dependência explícita de
na equação. Assim, se substituirmos
por
, a solução
simplesmente vira
. Portanto, o sistema é invariante no tempo.
Passo 4
A distinção entre sistemas concentrados e distribuídos vem do fato de haver ou não variação espacial. Sistemas descritos por equações diferenciais ordinárias (ODE) envolvendo apenas a variável
são modelos de elementos de armazenamento ideais sem dependência espacial, ou seja, concentrados. Modelos distribuídos envolveriam derivadas parciais e coordenadas de espaço. Aqui temos apenas ODE em
, logo é um sistema concentrado.
Resposta
Linear; Invariante no tempo; Concentrado.