Classifique os sistemas contínuos representados pelas equações abaixo em: linear/ não linear; variante/invariante; concentrado/distribuído.
a_{1} \frac{d y}{d t}+a_{0} y(t)=b_{0} u(t) ( a_{1}, a_{0} e b_{0} constantes; u(t) é a função degrau)

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema contínuo de primeira ordem descrito pela equação
a_{1}\,\frac{d y}{d t} + a_{0}\,y(t) = b_{0}\,u(t)
com a_{1},a_{0},b_{0} constantes e u(t) a função degrau.
O que precisamos fazer é classificar esse sistema em:
– linear ou não linear;
– variante ou invariante no tempo;
– concentrado (lumped) ou distribuído (distributed).

Passo 2

Para ver se é linear, lembramos que um sistema é linear se satisfizer superposição e homogeneidade:
– superposição: L\{y_{1}+y_{2}\} = L\{y_{1}\} + L\{y_{2}\},
– homogeneidade: L\{c\,y\} = c\,L\{y\}.
Definindo o operador
L\{y\} = a_{1}\,\frac{d y}{d t} + a_{0}\,y(t),
vê-se que tanto a derivada quanto a multiplicação por constantes obedecem essas propriedades, e o termo de entrada b_{0}\,u(t) aparece de forma aditiva e proporcional. Logo, o sistema é linear.

Passo 3

Um sistema é invariante no tempo se, ao atrasar a entrada em t_{0}, a saída também atrasa em t_{0} sem alterar a sua forma. Aqui todos os coeficientes a_{1}, a_{0} e b_{0} são constantes e não há dependência explícita de t na equação. Assim, se substituirmos u(t) por u(t - t_{0}), a solução y(t) simplesmente vira y(t - t_{0}). Portanto, o sistema é invariante no tempo.

Passo 4

A distinção entre sistemas concentrados e distribuídos vem do fato de haver ou não variação espacial. Sistemas descritos por equações diferenciais ordinárias (ODE) envolvendo apenas a variável t são modelos de elementos de armazenamento ideais sem dependência espacial, ou seja, concentrados. Modelos distribuídos envolveriam derivadas parciais e coordenadas de espaço. Aqui temos apenas ODE em t, logo é um sistema concentrado.

Resposta

Linear; Invariante no tempo; Concentrado.

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