Classifique os sistemas contínuos representados pelas equações abaixo em: linear/ não linear; variante/invariante; concentrado/distribuído.
\frac{d y}{d t}+|y(t)| y(t)=u(t)

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema contínuo descrito pela equação diferencial
\frac{d y}{d t} + \lvert y(t)\rvert\,y(t) = u(t)
e pede para classificá-lo segundo três aspectos:
  1. se é linear ou não linear;
  2. se é variante ou invariante no tempo;
  3. se é concentrado (lumped) ou distribuído (distributed).
    Para isso, vamos usar as definições de linearidade (princípio da superposição), de invariança temporal (ausência de dependência explícita em t) e de sistemas lumped versus distributed (presença ou não de coordenadas espaciais).

Passo 2

Verificação de linearidade.
Um sistema é linear se satisfaz superposição: para quaisquer entradas u_1,u_2 e escalares a,b, a resposta a a\,u_1 + b\,u_2 deve ser a\,y_1 + b\,y_2. Aqui o termo \lvert y(t)\rvert\,y(t) é produto não linear de y consigo mesma. Logo, a superposição falha e o sistema é não linear.

Passo 3

Verificação de invariança no tempo.
O sistema não apresenta coeficientes ou termos que dependam explicitamente de t — a equação envolve apenas funções de t por meio de y(t) e u(t), sem fatores como t\cdot y ou y(t-\tau) com deslocamento não trivial. Portanto, se deslocarmos a entrada u(t)\to u(t-t_0), a saída desloca-se da mesma forma. Logo, o sistema é invariante no tempo.

Passo 4

Verificação de concentrado versus distribuído.
O modelo é uma equação diferencial ordinária em função apenas de t, sem coordenadas espaciais ou dependência em variáveis de posição. Isso caracteriza um sistema de parâmetros concentrados (lumped). Logo, é um sistema concentrado.

Resposta

Não linear, invariante no tempo, concentrado.

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