Determine a solução geral das seguintes EDOs.
(i) x^{2}+3 x y+y^{2}-x^{2} \frac{d y}{d x}=0
(ii) x+2 y-4-(2 x+y-5) \frac{d y}{d x}=0
(iii) 3 x-y+2+(9 x-3 y+1) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

Temos três EDOs do tipo
M(x,y)+N(x,y)\frac{dy}{dx}=0
(i) x^{2}+3xy+y^{2}-x^{2}\dfrac{dy}{dx}=0 é homogênea de grau 2 em (x,y).
(ii) x+2y-4-(2x+y-5)\dfrac{dy}{dx}=0 tem termos lineares com constantes, mas fica homogênea após translação X=x-a, Y=y-b.
(iii) 3x-y+2+(9x-3y+1)\dfrac{dy}{dx}=0 permite a substituição v=3x-y que reduz a EDO a separável.

Passo 2

Resolvendo (i) por y=ux com u=u(x). Então
\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx},
e a EDO vira
x^2+3x\,(ux)+(ux)^2 - x^2\bigl(u + x\tfrac{du}{dx}\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; u + x\frac{du}{dx} = 1+3u+u^2.
Isolando du e separando:
x\frac{du}{dx} = 1+2u+u^2 \;\Longrightarrow\; \int \frac{du}{(u+1)^2} = \int \frac{dx}{x}.
Como
\int \frac{du}{(u+1)^2} = -\frac{1}{u+1},
obtemos
-\frac{1}{u+1} = \ln|x| + C \;\Longrightarrow\; \frac{1}{u+1} = -\ln|x| + C_1.
Voltando a u=y/x:
\frac{x}{x+y} = C_1 - \ln|x| \;\Longrightarrow\; \frac{x}{x+y} + \ln|x| = C.

Passo 3

Resolvendo (ii) por translação X=x-2, Y=y-1. Então
\frac{dy}{dx}=\frac{dY}{dX} \quad\text{e}\quad \frac{dy}{dx} =\frac{x+2y-4}{2x+y-5} =\frac{X+2Y}{2X+Y}.
Como agora é homogênea de grau 1, usamos Y=vX, dY/dX=v+X\,dv/dX. Vem
v + X\frac{dv}{dX} =\frac{1+2v}{2+v} \;\Longrightarrow\; \frac{2+v}{1-v^2}\,dv = \frac{dX}{X}.
Integramos
\int\frac{2+v}{1-v^2}dv =\frac12\ln\Bigl|\frac{1+v}{(1-v)^3}\Bigr| ,\quad \int\frac{dX}{X}=\ln|X|.
Logo
\ln\Bigl|\frac{1+v}{(1-v)^3}\Bigr|=2\ln|X|+C \;\Longrightarrow\; \frac{1+v}{(1-v)^3}=C\,X^2.
Substituindo v=Y/X e voltando a (x,y):
\frac{x+y-3}{(x-y-1)^3}=C.

Passo 4

Resolvendo (iii) por v=3x-y. Então
dv/dx = 3 - \frac{dy}{dx} \quad\text{e}\quad \frac{dy}{dx}=-\frac{3x-y+2}{9x-3y+1} =-\frac{v+2}{3v+1}.
Isto dá
3-\frac{dv}{dx}=-\frac{v+2}{3v+1} \;\Longrightarrow\; \frac{dv}{dx} =3+\frac{v+2}{3v+1} =\frac{10v+5}{3v+1}.
Separamos:
\int\frac{3v+1}{2v+1}dv=5\int dx \;\Longrightarrow\; 6v-\ln|4v+2|=20x+C.
Voltando a v=3x-y e rearranjando:
6y+\ln\bigl|12x-4y+2\bigr|+2x=C.

Resposta

(i) \dfrac{x}{x+y} + \ln|x| = C
(ii) \dfrac{x+y-3}{(x-y-1)^3} = C
(iii) 6y + \ln\bigl|\,12x-4y+2\,\bigr| + 2x = C

Exercícios relacionados