Classifique os sistemas em: impossével, determinado e indeterminado. E determine o conjunto solução:
\left\{\begin{array}{l}x+2 y-z=3 \\\\ 2 x+4 y-2 z=5 \\\ x+2 y+z=9\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas:
\begin{cases} x+2y-z=3,\\\\ 2x+4y-2z=5,\\\ x+2y+z=9. \end{cases}
Queremos classificar se o sistema é determinado (uma única solução), indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (sem solução) e, em seguida, achar o conjunto–solução. Para isso vamos usar eliminação de Gauss e o conceito de posto da matriz dos coeficientes e da matriz aumentada.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e aplicamos operações elementares:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3\\\\ 2 & 4 & -2 & 5\\\\ 1 & 2 & 1 & 9 \end{array}\right).
Fazendo R_2\leftarrow R_2-2R_1 obtemos
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 & -1\\\\ 1 & 2 & 1 & 9 \end{array}\right).

Passo 3

A segunda linha diz 0x+0y+0z=-1, ou seja
0=-1,
o que é uma contradição. Logo o posto da matriz aumentada é maior que o posto da matriz de coeficientes, caracterizando um sistema impossível.

Resposta

O sistema é impossível.
O conjunto–solução é o conjunto vazio: \varnothing.

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