Classifique os sistemas em: impossével, determinado e indeterminado. E determine o conjunto solução:
\left\{\begin{array}{l}x+2 y+3 z=1 \\\\ 2 x+y+z=2 \\\\ 3 x-y+z=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para classificar o sistema linear
\begin{cases} x + 2y + 3z = 1,\\\\ 2x + y + z = 2,\\\\ 3x - y + z = 1 \end{cases}
como impossível, determinado ou indeterminado, e em seguida encontrar o conjunto-solução. O conteúdo principal aqui é Álgebra Linear: usamos o determinante da matriz dos coeficientes para classificar o sistema e, se for determinado \det\neq0, usamos eliminação de Gauss para achar a solução única.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial A\mathbf x = \mathbf b, com
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 2 & 1 & 1\\\\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix},\quad \mathbf x = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},\quad \mathbf b = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}.
Pela teoria, se \det(A)\neq0 então o sistema é determinado (tem solução única).

Passo 3

Calculamos \det(A) por expansão de Laplace na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ -1&1\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 3&1\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 3&-1\end{pmatrix}.
Agora cada subdeterminante:
\det\begin{pmatrix}1&1\\\ -1&1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot(-1)=2, \quad \det\begin{pmatrix}2&1\\\ 3&1\end{pmatrix}=2\cdot1-1\cdot3=-1,
\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 3&-1\end{pmatrix}=2\cdot(-1)-1\cdot3=-5.
Substituindo,
\det(A)=1\cdot2-2\cdot(-1)+3\cdot(-5)=2+2-15=-11\neq0.

Passo 4

Como \det(A)=-11\neq0, o sistema é determinado, ou seja, existe uma única solução.

Passo 5

Para encontrar (x,y,z), aplicamos eliminação de Gauss. Subtraindo 2 vezes a primeira equação da segunda:
(2x+y+z)-2(x+2y+3z)=2-2\cdot1 \quad\Longrightarrow\quad 3y+5z=0.
Subtraindo 3 vezes a primeira equação da terceira:
(3x - y + z)-3(x+2y+3z)=1-3\cdot1 \quad\Longrightarrow\quad 7y+8z=2.

Passo 6

Resolvemos o sistema em y,z\): \[\begin{cases} 3y+5z=0,\\\\ 7y+8z=2. \end{cases}
Da primeira vem (y=-\tfrac{5}{3}z]. Substituindo na segunda:
7\bigl(-\tfrac{5}{3}z\bigr)+8z=2 \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac{35}{3}z+\tfrac{24}{3}z=2 \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac{11}{3}z=2 \quad\Longrightarrow\quad z=-\tfrac{6}{11}.
Então
y=-\tfrac{5}{3}\cdot\bigl(-\tfrac{6}{11}\bigr)=\tfrac{30}{33}=\tfrac{10}{11}.

Passo 7

Por fim, obtemos x na primeira equação:
x=1-2y-3z =1-2\cdot\tfrac{10}{11}-3\cdot\bigl(-\tfrac{6}{11}\bigr) =1-\tfrac{20}{11}+\tfrac{18}{11} =1-\tfrac{2}{11} =\tfrac{9}{11}.

Resposta

O sistema é determinado e seu conjunto-solução é
\{(x,y,z)\}=\Bigl\{\bigl(\tfrac{9}{11},\,\tfrac{10}{11},\,-\tfrac{6}{11}\bigr)\Bigr\}.

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