Classifique os sistemas em: impossével, determinado e indeterminado. E determine o conjunto solução: \left\{\begin{array}{l}x+2 y+3 z=1 \\\\ 2 x+y+z=2 \\\\ 3 x-y+z=1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para classificar o sistema linear
\begin{cases} x + 2y + 3z = 1,\\\\ 2x + y + z = 2,\\\\ 3x - y + z = 1 \end{cases}
como impossível, determinado ou indeterminado, e em seguida encontrar o conjunto-solução. O conteúdo principal aqui é Álgebra Linear: usamos o determinante da matriz dos coeficientes para classificar o sistema e, se for determinado \det\neq0, usamos eliminação de Gauss para achar a solução única.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma matricial A\mathbf x = \mathbf b, com
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 2 & 1 & 1\\\\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix},\quad \mathbf x = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},\quad \mathbf b = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}.
Pela teoria, se \det(A)\neq0 então o sistema é determinado (tem solução única).
Passo 3
Calculamos \det(A) por expansão de Laplace na primeira linha:
Subtraindo 3 vezes a primeira equação da terceira:
(3x - y + z)-3(x+2y+3z)=1-3\cdot1 \quad\Longrightarrow\quad 7y+8z=2.
Passo 6
Resolvemos o sistema em y,z\):
\[\begin{cases} 3y+5z=0,\\\\ 7y+8z=2. \end{cases}
Da primeira vem (y=-\tfrac{5}{3}z]. Substituindo na segunda: 7\bigl(-\tfrac{5}{3}z\bigr)+8z=2 \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac{35}{3}z+\tfrac{24}{3}z=2 \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac{11}{3}z=2 \quad\Longrightarrow\quad z=-\tfrac{6}{11}.
Então y=-\tfrac{5}{3}\cdot\bigl(-\tfrac{6}{11}\bigr)=\tfrac{30}{33}=\tfrac{10}{11}.