(Questão 03) [2,0 pontos] Sejam E=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) e F=\left(\overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right) duas bases tais que
\overrightarrow{f_{1}}=2 \overrightarrow{e_{1}}-\overrightarrow{e_{3}}, \quad \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{2}}+2 \overrightarrow{e_{3}}, \quad \overrightarrow{f_{3}}=7 \overrightarrow{e_{3}}
. Exprima o vetor \vec{u}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}} na base F.

Passo 1

O enunciado nos dá duas bases \displaystyle E=(\overrightarrow e_{1},\overrightarrow e_{2},\overrightarrow e_{3})
e \displaystyle F=(\overrightarrow f_{1},\overrightarrow f_{2},\overrightarrow f_{3})
com
\overrightarrow f_{1}=2\overrightarrow e_{1}-\overrightarrow e_{3},\quad \overrightarrow f_{2}=\overrightarrow e_{2}+2\overrightarrow e_{3},\quad \overrightarrow f_{3}=7\overrightarrow e_{3}.
Queremos expressar \displaystyle \vec u=\overrightarrow e_{1}+\overrightarrow e_{2}+\overrightarrow e_{3}
como combinação linear de \overrightarrow f_{1},\overrightarrow f_{2},\overrightarrow f_{3}.

Passo 2

Escrevemos as coordenadas de cada \overrightarrow f_{i} em relação à base E:
\overrightarrow f_{1}=(2,0,-1),\quad \overrightarrow f_{2}=(0,1,2),\quad \overrightarrow f_{3}=(0,0,7),
enquanto \displaystyle \vec u tem coordenadas (1,1,1) em E.

Passo 3

Procuramos escalares a,b,c tais que
a\,(2,0,-1) \;+\;b\,(0,1,2)\;+\;c\,(0,0,7)\;=\;(1,1,1).
Isto gera o sistema
2a = 1,\quad b = 1,\quad -\,a + 2b + 7c = 1.

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação segue
a = \tfrac12.
Da segunda vem
b = 1.
Substituindo em -a + 2b + 7c = 1:
-\tfrac12 + 2\cdot1 + 7c = 1 \;\Longrightarrow\; \tfrac32 + 7c = 1 \;\Longrightarrow\; 7c = -\tfrac12 \;\Longrightarrow\; c = -\tfrac{1}{14}.

Resposta

\displaystyle \vec u = \tfrac12\,\overrightarrow f_{1} \;+\;\overrightarrow f_{2}\;-\;\tfrac{1}{14}\,\overrightarrow f_{3}.
As coordenadas de \vec u na base F são \bigl(\tfrac12,\,1,\,-\tfrac{1}{14}\bigr).

Exercícios relacionados