(Questão 01)[2,0 pontos] Faça a identificação entre as cônicas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada cônica.
a)
( )Ponto
b)
( )Parábola
c)
( )Hipérbole
d)
( )Vazio
a)
( )Ponto
b)
( )Parábola
c)
( )Hipérbole
d)
( )Vazio
Passo 1
O enunciado apresenta quatro equações de grau até 2 em
e
e pede para identificar se cada uma descreve um ponto, uma parábola, uma hipérbole ou o conjunto vazio. Vamos usar interpretação geométrica (soma de quadrados, existência de solução real) e, quando couber, o discriminante
da forma geral
Passo 2
Para
cada termo é um quadrado, logo é não negativo, e só pode somar zero se
Isso define exatamente o ponto
. Portanto é um ponto.
Passo 3
Para
temos
que não admite solução real. Logo não há nenhum ponto real que satisfaça a equação, isto é, o conjunto é vazio.
Passo 4
Para
não aparece termo em
. Na forma geral temos
,
,
, de modo que
Quando
caracteriza-se (ou degenera em) uma parábola. Mesmo que essa equação fatorize em duas retas paralelas, na classificação de cônicas com discrimante nulo reconhecemos uma parábola degenerada.
Passo 5
Para
podemos reescrever como
cuja forma geral tem
,
,
e
Discriminante positivo indica hipérbole.
Resposta
a) Ponto
b) Vazio
c) Parábola
d) Hipérbole
b) Vazio
c) Parábola
d) Hipérbole