(Questão 01)[2,0 pontos] Faça a identificação entre as cônicas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada cônica.
a) (x+1)^{2}+2(y-1)^{2}=0
( )Ponto
b) y^{2}+1=0
( )Parábola
c) 4 y^{2}+8 y-4=0
( )Hipérbole
d) x^{2}=5+y^{2}
( )Vazio

Passo 1

O enunciado apresenta quatro equações de grau até 2 em x e y e pede para identificar se cada uma descreve um ponto, uma parábola, uma hipérbole ou o conjunto vazio. Vamos usar interpretação geométrica (soma de quadrados, existência de solução real) e, quando couber, o discriminante
\Delta = B^2 - 4AC
da forma geral
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0.

Passo 2

Para
(x+1)^{2} + 2(y-1)^{2} = 0
cada termo é um quadrado, logo é não negativo, e só pode somar zero se
x+1 = 0 \quad\text{e}\quad y-1 = 0.
Isso define exatamente o ponto (-1,1). Portanto é um ponto.

Passo 3

Para
y^{2} + 1 = 0
temos
y^{2} = -1,
que não admite solução real. Logo não há nenhum ponto real que satisfaça a equação, isto é, o conjunto é vazio.

Passo 4

Para
4y^{2} + 8y - 4 = 0
não aparece termo em x. Na forma geral temos A=0, B=0, C=4, de modo que
\Delta = B^2 - 4AC = 0 - 4\cdot 0 \cdot 4 = 0.
Quando \Delta=0 caracteriza-se (ou degenera em) uma parábola. Mesmo que essa equação fatorize em duas retas paralelas, na classificação de cônicas com discrimante nulo reconhecemos uma parábola degenerada.

Passo 5

Para
x^{2} = 5 + y^{2}
podemos reescrever como
x^{2} - y^{2} = 5
cuja forma geral tem A=1, B=0, C=-1 e
\Delta = 0 - 4\cdot1\cdot(-1) = 4 > 0.
Discriminante positivo indica hipérbole.

Resposta

a) Ponto
b) Vazio
c) Parábola
d) Hipérbole

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